M gl ( a sin <L — b cos ^ ) -f- const

e'est-a-dire

(4) A d/2 -+- C cp'? = 2M^/(a sin t|< — b cos 6 ) h- h.

Gette integrate premiere peut evidemment etre obtenue independamment de la methode de Gilbert; e'est l'integrale des forces vives appliquee au mouvement relatif par rapport aux axes Oxyz.

Nous appliquerons ces formules a deux cas particuliers simples.

4G0. Boussole gyroscopique de Foucault. — Supposons le corps suspendu par son centime de gravite. Alors OG = I = o, et les deux integrales premieres deviennent

o'-hto cos a sind> == Ad/2-t- Geo'2 = h.

Ces equations s'integrent par des quadratures elliptiques. Mais, com me la vitesse angulaire u de la Terre est tres petite, on peut ne'giger u>2; on a alors, en tirant 9' de la paemiere pour le porter dans la deuxieme, et negligeant a)2,

(5) A 6'2 — 2 C k o) cos a sin <L = /•

/designant une nouvelle constante. Nous pouvons toujours supposer qu'on ait clioisi comme sens positif OZ sur Taxe du corps, un sens tel que la valeur initiale R0 ou c'0 de la rotation du corps suivant OZ soit positive; supposons, de plus, cette valeur suffisamment grande : alors k est positif. L'equation (5) se ramene alors immediatement a l'equation du mouvement d'un pendule simple. En effet, Tangle xOZ, etant appele «, on a

•I — u -+- — et l'equation (5) devient

iCku f

u'2= — t cosacosw + V

identique a Tequation du mouvement d'un pendule simple dans lequel u est Tangle d'ecart avec la verticale.

L'axe du gyroscope OZ est done anime d'un mouvement pendulaire autour de Ox. Dans la realite, par suite de la resistance de l'air et du frottement, l'axe OZ s'arrete au bout d'un certain temps en Ox, e'est-a-dire suivant la projection de l'axe du monde Ooi sur le plan fixe xOy.

De la le nom de boussole gyroscopique donne a cet appareil. Si le plan xOy, dans lequel l'axe du gyroscope est assujetti a se mouvoir est le plan horizontal du lieu de I'observation, la position d'equilibre relatif de Taxe OZ est la direction de la meridienne : l'appareil peut servir de boussole de declinaison. Si le plan xOy coincide avec le plan meridien, l'axe se place suivant Oco qui coincide alors avec Ox; l'appareil sert de boussole d'inclinaison.

On peut resumer la discussion en disant que l'axe de la boussole gyroscopique tend a faire le plus petit angle possible avec Taxe de la Terre.

161. Barogyroscope de Gilbert. — Dans la boussole gyroscopique de Foucault que nous x enons d'etudier, le centre de gravite du corps de revolution est suppose place au point de suspension 0 et l'axe OZ du corps assujetti a decrire un plan lie a la Terre et passant par O. La condition que le centre de gravite se trouve en O etant tres difficile a realiser experimentalement, Gilbert a cherche l'inlluence de la rotation de la Terre sur le mouvement d*un corps pesanl de revolution suspendu par un point fixe 0 de son axe OZ, quand cet axe OZ est assujetti a se mouvoir dans un plan vertical lie a la Terre, le centre de gravite G n'etant plus en 0. Gilbert realise experimentalement les conditions que nous venous d'indiquer dans Tappareil suivant appele barogyroscope.

(maginons un lore en bronze D dont Taxe d'acier a pivote librement

dans les tourillons coniques creuses dans des vis en acier p et v' qui traversent une chape CC en acier reposant par les couteaux A et A' sur des surfaces en acier trempe, de forme cylindrique, dont les couteaux occupent le fond. Ce systeme presente une symetrie exacte par rapport au plan passant par l'axe du tore et les aretes des couteaux, et sa mobilite autour de celles-ci est telle qu'un souflle leger suffit a piovoquer des oscillations.

Une fois qu'on a, par des vis calantes V, V, V", assure Thorizontalite de l'axe de suspension AA.', le tore constitue un corps solide de revolution

Fig. 268.

mobile autour d'un point fixe O place a Intersection de son axe de revolution vv et de l'axe de suspension AA'; de plus, l'axe de revolution vv' du tore ne peut que se mouvoir que dans un plan vertical fixe par rapport a la Terre.

En agissant sur les vis v et v ', sur d'autres vis it et a et sur un curseur p7 glissant a frottement dur sur une aiguille formant le prolongement inferieur de l'axe du tore vv\ on arrive a placer le centre de gravite G du systeme mobile sur l'axe du tore tV, un peu au-dessous du point 0. Le tore etant en repos, on a ainsi un pendule compose, suspendu par l'axe AA', qui est en equilibre stable quand 1'aiguille v p, c'est-a-dire l'axe du tore, est verticale. On porte ainsi la chape sur un rouage moteur et Ton

imprime au tore une rotation tres rapide autour de son axe, apres quoi on la replace sur son support en la guidant par des fourchettes F, afin que les aretes des couteaux A, A' occupent exactement la position horizontale qui leur a ete assignee. C'est a cet instant que se developpent les phenomenes delicats, mais blen nets, qui accusent la rotation de la Terre. Le systeme reprend une nouvelle position apparente d'equilibre stable, dans laquelle l'axe du tore n'est plus vertical, mais fait avec la verticale un petit angle E d'autant plus grand, a vitesse egale, que le plan vertical dans lequel l'axe du tore peut se mouvoir est plus voisin du plan meridien. Si Ton se place dans les conditions les plus favorables, en mettant le plan dans lequel se meut l'axe du tore dans le plan meridien, Tangle d'eeart E de l'axe du tore avec la verticale se percoit nettement. II est d'autant plus grand que la rotation propre du tore est plus grande et que la distance OG du

Fig. 269.

centre de gravite a l'axe AA' est plus petite : cet ecart E se fait d'alleurs vers le nord ou le sud, suivant le sens de la rotation du tore. G'est ce qu'on explique facilement en appliquant les formules generates que nous avons etablies plus haut au cas actuel.

Le plan dans lequel se meut l'axe du corps OZ {fig. 269) est ici le plan du meridien du point O, POP'; nous devons, pour appliquer les formules generales, prendre ce plan pour plan des xy, en prenant pour axe des x la projection de la rotation Oto, egale et parallele a la rotation de la Terre sur le plan xOy. Actuellement, Oto coincide done avec Ox.

Figurons la verticale descendante OV; elle est dans le plan yOx et fait avec Ox un angle

a etant la latitude du point 0; les cosinus a, b1 c des angles que fait la verticale OV avec les axes Oxyz sont done

u — — sin)., & = cosa, c = o,

et le tcrme a sin — b cos-j>, ([ui figure dans Tintegrale (4) a Pf>ur valcur

— cos(X — 6).

Les deux integrates premieres obtenues plus haut (2) et (4) sont done maintenant, puisque a est nul

j 9' ■+- to sin 'I = /. == n-ho) sin <J/0,

( A^'2-+-G?'2 = — 2M^cos(X — ty-hh.

//, designant la valeur initiale 9', c'est-a-dire de la rotation du tore.

(7) A<1/2 — 2/iGto sin«]; = — 2Mgl cos(X — -b)-h /,

/designant une nouvelle constante.

Introduisons, a la place de 'b, Tangle E que fait 1'axe OZ du gyroscope avec la verticale; cet angle etant compte positivement de 0 x vers O r, on a

SToZ = <L — -, £0V=-4-X,

E = xOZ — xO\ ==ty — X — jc.

L'equation devient

^ ^ = — 2 n C w sin ( E -+- X ) H- 2 M £■/ cos E -+- /;

on pourrait facilement la ramener, par un nouveau changement de l'origine des angles, a etre identique a l'equation de mouvement d'un pendule simple. Bornons-nous a chercher la position d'equilibre de Taxe. Nous

Tobtiendrons en cherchant les valeurs de E qui annulent ? c'est-a-dire

^ at1

la derivee du second membre; on a ainsi

/<G(o cos( E -+- X) h- Mgl sin E == o, /ioj G cosX

(8) - tangE =

n to G sin X

On a ainsi Tangle E que fait avecla verticale Taxe du tore apres quelques oscillations de part et d'autre de la direction definie par cet axe.

Comme 10 est tres petit, le signe du denominateur est celui de Mgl, c'est-a-dire ; tangE est done du signe de — n, si n est positif, c'esta-dire si le tore tourne dans le sens positif autour de Taxe OG, la deviation se fait vers le nord car E est n^gatif, si n est negatif, elle se fait vers le sud. On voit que, a vitesse de rotation en valeur absolue egale, la deviation est plus grande quand n est positif.