VI. — SYSTflMES NON HOLONOMES
162. Forme des equations de liaison dans les systemes non holonomes. — Nous avons deja dit qu'un systeme est appele" non holonome quand certaines des liaisons qui lui sont impos^es ne peuvent pas etre exprim^es en termcs finis, mais se traduisent analvtiquement par des relations differentielles. Tels sont le cerceau, la bicjclette.
Ce fait se presente toutes les fois qu'un corps solide est assujetti a rouler et a pivoter sur une surface fixe. En effet, la position d'un corps solide enlierement libre depend de six coordonnees qui sont, par exemple, les trois coordonn^es du centre de gravitc et les trois angles d'Euler. Pour exprimer que le corps roule et pivote sur une surface fixe, il faut e^crire que la vitesse de la molecule an contact est nulle. Or, en appelant qK, q2, q^, <],■> asi cJ<i les s*x coordonnees, cette condition s'exprime par des relations de la forme
At dqi-i- Ao^2 + . . .-+■ A^dqfi = o,
dont les coefficients sont fonctions de q±1 q<±, q*, q&, mais dont le premier membre est pas, en general, une differentielle exacte, et nadmet pas de facteur integrant.
La liaison imposed au corps ne peut done pas s'exprimer par des relations en termes finis entre les coordonnees. De la resultent, pour l'application des theoremes de la M^canique analytique, des difficult^ particulieres, dont la plus saiilante est que les equations de Lagrange ne peuvent pas etre appliquees quand on tient compte de ces liaisons exceptionnelles pour modifier l'expression de la force vive 2T.
Les difficult^ resultant, a ce point de vue, de ce genre de liaisons ont e"t6" signages et etudie"es par G. Neumann [Grundziige <ler AnalytiseJien Mechanik (Berichte der konigl. sdchs. Gesellschaft der IVissenschaften zu Leipzig, 1888, p. 32)]; par Vierkandt [Ueber gleitende und rollende Bewegung I Wonatsheft filr Mathematik und PJiysik, t. Ill, 1892)]; par M. Hadamard [Sur les mouvements de roulement (Societe des Sciences de Bordeaux, 1895)]; par Carvallo dans un Memoire
insere" au Journal de VEcole Poly technique, en 1900, et par Korteweg (Nieuw Archie/, 1899).
Premier example . — Prenons, par exemple, une sphere homogene de rayon a assujettie a rouler sur un plan fixe. Prenons cornme axes fixes deux axes OE, Oyj dans le plan et un axe perpendiculaire 0£ du cole oii se trouve la sphere; soient £, rj, £ les coordonnees du centre G de la sphere par rapport a ces axes (£ = a). Menons par G trois axes Gxiyizi paralleles aux axes 0£y)£, et appelons pi} r{ les composantes de la rotation instantanee de la sphere suivant ces axes. En ccrivant que le point de la sphere qui est au contact a une vitesse nulle, on a
. ^ dj) dX,
W dt-a^=°' dt+a^ = °> di=°'
D'ailleurs 0, cp, di £tant les angles d'Euler d'un systeme d'axes Gxyz li£ a la sphere par rapport aux axes Gx^yK zl: on a, d'apres des formules faciles a etablir (n° 382),
!px = 0' cos 41 + ? sm ^ sin <b, qx = 6' sin <b — o' sin 6 cos d», n — <J/-f- cp'cos 0,
0', cp', ij/ sont les derivees Les relations (1) expri-
mant que le deplacement reel est un roulement s'ecrivent alors
j d\ — a sin 6 d 0 -+- a sin 0 cos 6 do == o, ( dr\ -h a cos <1> dti -+- a sin 0 sin dv = o.
Les deplacements virtuels compatibles avec les liaisons sont, de meme, caracterises par
Io£ — a sin <\i 80 + a sin 0 cos 689 = 0, 8t) -4- « cos <!> 80 -+- a sin 0 sin 6 80 == o.
La coordonnee £ etant constante, la position du systeme depend des cinq parametres £, yj, 0, cp, d; lies par les relations (4) dont les premiers membres ne sont pas des differentielles totales exactes et ne peuvent pas etre integres. Le systeme est a trois degres de liberte, car oG, 09, d'h restent arbitraires, dl, &rj eHant determines par les relations (4).
Deuxieme example; cerceau. -- Considerons un cerceau de rayon a assujetti a rouler et a pivoter sur un plan horizontal fixe II comme au n° 411.
Prenons deux axes fixes 0£, Or? dans ce plan et un axe fixe 0£ vertical ascendant. Appelons £, rj, £ les coordonn^es du centre de gravite G du cerceau par rapport a ces axes, 0, cp, ^ les angles d'Euler definis au n° 411 et determinant la position du cerceau par rapport aux axes Gx^y^Zi paralleles aux axes fixes Q£yj£. La
vitesse V du centre de gravite G a pour projections sur les axes (ixes O'lri* et, par suite, sur les axes paralleles Gx^y^z^
* d£ dx\ d£
dt] dS dt'
D'autre part,- le point de contact H du cerceau avec le plan II {fig- 244) a pour coordonn^es, par rapport aux axes Gxiy^zi7
(5) xy = a cos 0 sin •b, = — a cos 6 cost!;, Zi — — a sin 6.
Pour exprimer que le cerceau roule et pivote sur le plan II il faut ecrire que la vitesse du point materiel place en H est jiulle.
Appelons pL, q^, i\ les composantes de la rotation instantan^e oj du cerceau suivant les axes Gx\Y\Z^ et remarquons que la vitesse du point materiel place en H est la resultante de la vitesse due a l'entrainement des axes Gx1y1zi, et de la vitesse due a la rotation go autour de G : nous aurons done, en 6crivant que les trois projections de la vitesse du point materiel H sont nulles :
[dt -^1-^1=0,
(6) J ~ + —piZi =
d<\ It
D'apres les expressions ci-dessus (2) de jn, qi, ''i et les valeurs (5) de xl} yi, Zi on voit que les conditions precedentes (6) donnent, a la suite de reductions evidentes,
( dc — a sin 'b sin 0 <r/0 -+- a cos <b cos 6 db -f- a cos 'b dv = o, ( 7 ) I dt\ -+■ a cos 'b sin 0 di) -+- a sin 'b cos 6 d<b -+• a sin 'b dz> = o, / d£ — a cos 6 rfO = o,
Ges relations expriment que le displacement r£el est un ronlement.
De meme, en expriinant que les deplacements virtuels compatibles avec les liaisons sont des roulements du cerceau sur le plan, on a, pour les difl^rentielles o£, 077, 6'C, oo, o'l definissant ces deplacements, les equations de condition
/ o£ — a sinty sin 0 80 -+- a cos^ cosO o<b ■+- a cos <b 0-^ = 0,
(8) I o-r\ -f- acos^1 sin 6 oO -4- a sin-i; cosO o'l ■+■ a sintp 09 = o, ( 8£ — a cos 0 06 =0.
La derniere des relations (7) ou (8) equivaut a la relation en termes finis
Xz = a sin 0
qui est evidente geometriquement si Ton evalue la distance £ du point G au plan II; mais les deux premieres relations (8) ne peuvent pas etre int^gr^es et ecrites sous forme finie. On voit done que le systeme considere n'est pas holonome : e'est un systems a trois degres de liberie, car le deplacement virtuel le plus general compatible avec les liaisons s'obtient en donnant a oO, 09, cty des valeurs arbitraires; o£, drly St, sont ensuite determines par les relations (8).
463. Emploi des equations de Lagrange combine avec la methode des multiplicateurs. — Imaginons, en general, un systeme assujetti d'abord a des liaisons exprimables par des relations en termes finis enlre les coordonnees des divers points. Soit, en tenant compte de ces liaisons, k le nombre de parametres independants qiy q2: . . . , qu qui fixent la position du systeme. On aura pour les coordonnees d'un point quelconque du systeme, en supposant les liaisons ind^pendantes du temps,
(9) y = ?(qi, •
( - =Hq±: q»~, • qk)-
On obtient un deplacement virtuel compatible avec ces liaisons en faisant varier q.2, . .., q/{ de dqi} o</2, oq^. L'equation generale de la Dynamique prend alors la forme (n° 441)
(10) (P1 Ql)o^1 + (P,-Q2)o^ + ...-4-(Px.-Q/t)o^-=o,
Oil
Pa= *(£L) fS.-
dt\dtfzf dqa
S'il n'y a pas d'autres liaisons, les dqi} <5</2, • • • s tyk sont arbitrages, et l'equation (10) fournil k equations qui sont les equations de Lagrange.
Mais supposons maintenant qu'on ajoute aux liaisons pr^cedentes de nouvelles liaisons independantes du temps, exprimables par des relations differentielles non integrables entre les parametres ql} q2, qui Pour un deplacement virtuel compatible avec ces liaisons, on aura
A-i oq± h- A2 <5</2 ■+- . • . -f- A a oqt = o, B, oqi -+- B2 S^2 + . . . + Bi §qh— o,
Li 0*7 1 + L2o5-, + ...+ La oqk = o,
ou les premiers membres ne sont pas des differ entielles exactes et n1 admeltent pas de combinaisons integrables.
Dans ces conditions, l'equation (10) devra avoir lieu pour tous les deplacements dqL, oq2, oqu verifiant ces conditions (n). Les equations du mouvement sont alors, d'apres la methode des multiplicateurs de Lagrange,
Pj = Qj -+- Xi At -h X2Bi -h. . .-+■ lpLu
P., = Q2 H- A j A2 -h Ao B2 -+-... -4- L,, Pyfe= Q/c-h Xi A/t-f- X2Byfc-4-. . .4- lpLk,
Pa ayant Texpression ci-dessus. Ces equations jointes aux p equations
Ai dqy -f- Ao dq.2-i-. . . -+- A* <r/^>t = o, Bi dqi -h B2 ^o -+-...■+- !>/, aft^ == o,
Lj dqi -+- L2 r/^o + . . . -4- Lk dqu = o,
qui expriment que le deplacement reel est compatible avec les
liaisons, determinent ql: q2 (ju et Xi, /..j, . . . , >7,.
Cette methode a ete employee par Routh (Advanced rigid Dynamics, p. i.">2) et par- \ ierkandt (/oc. <//.. p. 47~5o).
464. Impossibility d'appliquer directement les equations de Lagrange au nombre minimum de parametres — ■ Nous venons de voir coinrnent on pent utiliser les equations de Lagrange en tenant compte dcs relations (i i) par La methode des multiplicateurs.
Mais on pourrait essayer de ramener les parametres au moindre nombre possible en se servant des relations (i i) pour laisser subsister le nombre minimum de parametres dans I'expression du deplacement virtuel, et des equations (i3) pour laisser subsister le nombre minimum de parametres dans I'expression de la demiforce vive
T = i.Sm(4f'»+ r'2-f- z'1).
Apres ces modifications, les equations de Lagrange ne sont plus applicables. G'est ce que nous allons demontrer rapidement.
Un deplacement virtuel compatible avec toutes les liaisons imposees au systeme est defini, pour le point x, y, z, par
ox =
oq\ 4-
dx
dx .
dqk
By =
tyi •+■
dy s , -f- oq2 -+- .
dq.
dy .
• y— °qk
oz =
dz dqv
oqi-h
dz R
-r~ oq, -+- .
dq.
dz „ dqk
ou dq^ dq.2. dq/{ sont lies par les p relations (i i). Tirons de ces relations p des variations dq/;: dq/;L, dqk p+i en fonction lineaire et homogene des autres; nous aurons, en portant dans dx. dy, dz, et faisant n — k — p,
ciioqi-h a>> oq<>-+- . . . -h an oqn, bi Bqt ■+- bo Bq* -+-... -H bn tyn, Ci oqi + c2 Bq* -f- . . . -h cn Bqn,
oii maintenant dq±, dq2, . . . , dqn sont arbitraires. Portant ces valeurs de ox, dy, dz dans Pequation generale de la Dynamique,
(') P. Appell, Les rnouvernents de- roulement en Dynamique (Collection Scientia, Gautliier-Villars ).
on oblient une relation dans laquelle les coefficients de dqi7
oq-2 oqn doivenl etre nuls, et l'on a ainsi les equations du
mouvement (n° 433)
ou nous designerons les deuxiemes membres par Qa.
D'ailleurs, le deplacement reel £tant actuellement compatible avec les liaisons, on a, d'apres (i4)?
dx — ci\ dqi-h «2 dq-i -i- . . . -4- an dqn,
ou. en adoptant la notation de Lagrange pour les derivees,
x' = «i q\ -+- a% q\ -h . . . -h an q'm y'= bt q\ + b«q\ + . . . -h 6„ -' = Cj ^'t +c2y/2 + ... + c„
Essayons de suivre, sur la premiere des equations (i5), la methode qui conduit aux equations de Lagrange. Nons supposerons, pour simplifier, que les coefficients a4, 61? c4, . . . , a2, c2, .... aw, cn dependent uniquement de qi7 q2, On peut ecrire la premiere equation (i5) (a = i) :
(16) ^/n(a^'+ 6i/-h c^') — Rt = Qi,
ou Ri designe la quantite
day , dbi , dc\
\ dt J dt dt
Or, ai, 6i, Ci £tant evidemment egaux a le pre
inier terme de l'equation (16) est
/ dT dt \ dq\
com me dans les equations de Lagrange; mais le deuxicmeRi n'esl pas. en general, egal a En effet. Ton a
<tyi ~ Zum \ d(]s y dqi " dqi J
Done
db±dy dt dq
~J \dt dqjj
Or, les coefficients a1} bi, ... £tant supposes fonctions de qit
q2, . . . , qn, on a
el, en differentiant par rapport a qlt l'expression ci-dessus de
dx dcii 0a.-> dan ,
Le coefficient de x' dans la difference Pii — 4— est done
ON / , ( dax <)a?,\ . I ()ax dan\
j7 ri'est pas nul en general. Les coefficients de y' et z[ ont des formes analogues. D'apres les valeurs de x' , y', z' en fonction
de q\, la difference Pi! — ^ est done, en general, une
forme quadratique de q\, q'.2, .... q'n. Pour que R4 soit egal a ~- ?
e'est-a-dire pour que l'equation de Lagrange puisse s'appliquer au parametre q±, il faut et il suffit que cette forme quadratique soit identiquement nulle, quels que soient les q et les q' .
Cas particuliers. — i° Si les expressions (i4) de ox, dy, 6z sont des diffe>entielles totales exactes, toutes les quantitds telles que
da-i dav dbi dbv dci <)cv <)qv dqt ' dq^ dqt ' dqv dqt
sont nulles. Les expressions telles que (17) sont nulles, et les equations de Lagrange s'appliquent a tons les parametres. Dans ce cas on peut integrer les expressions (i4) et exprimer x, y, z sous forme finie en fonction de q^, . • • , qn> Le systeme est holonome.
2° Voici un cas oii liquation de Lagrange s'applique au parametre qv. Supposons que Ton ait, pour tous les points,
da\ dan " 0qn ~~ dq, '
da.
day
da*
dq%
~ dqy
dbx
db2
dbi
db.
dq.
~~ dq{ '
dqz
~ dq.
dci
dc.
dc.
dCr,
dq.
dqi
~ dq ,
db, djbn dqn ~~ dqC dci dcn dqn ~ dq,
Alors les quantity telles que (18) formant les coefficients de x\ r\ d dans R4 — — sont Jiulles, et RA est cgal a ^— • Liquation de Lagrange s'applique done au parametre q±. On peut caracteriser autrement ce cas. Les conditions (19) 6tant supposes remplies, delerminons des fonctions de ql} q2, . . '. , qn par les conditions
' a,dqu V4= / b,dq,, W4 = / CiO^i,
ou </J est une constante quelconque, l'inlegration e"tant faite par rapport a qx . On trou ve immediate ment, d'apres les conditions (19),
-j — — / — dq^ / — — dq,= a, — a\, dq, Jql dq, JqX dq,
a\ £tant ce que devient a2 quand on y remplace qx par la constante q\. De meme
dUi 0 d\J\
On a des relations analogues pour Vi et Wj. On peut alors ecrire
( ox = SUi 4- a? ^2 -+- a\ ^3 +...+ 0^ o^n? (20) < ojk = 8Vj -+- b\ $q« -h ...+ 6)1 oqn,
f 8 8Wj -+- c\ Zz,-+- ...-+- c£ Zqn.
Vinsi, Tequation de Lagrange s'applique a q,, quand, pour un point quelconque du systeme, ox, 07, oz peuvent se mettre sous la forme d'une different telle totale suivie tVune expression different telle ne contenant pas qi.
APPBLL. — Traiti de Mdcaniquc. II. 25
Par exemple, dans le mouvement du cerceau, liquation de Lagrange peut etre appliqu^e au parametre 8, comme l'a doja remarque" Ferrers (Quarterly Journal of Mathematics, 1871- 1873). En effet, la position du cerceau autour de son centre de gravite* G etant definie par les valeurs des angles 0, 9, 'b, les coordonn^es a?i, jKi, ~i d?un point du cerceau par rapport aux axes Gxiy^Zi sont des fonctions de 0, o. L :
tfi=/(6, 9, *, 40, ^i=/2(0, 9, i).
Les coordonn^es absolues x, y, z du meme point par rapport aux axes fixes 0£y)£ sont de la forme
r = n^/iC6) ?> 'H
Imprimons au sysleme un d^placement virtuel compatible avec les liaisons; nous aurons
