Stj -t- a/i, 8,s = 8£ + 8/2j
ou il faut remplacer 0;, 077, o£ par leurs valeurs (8) : mais on voit imm^diatement que ces valeurs s'ecrivent
8£ = o( — a sin 4> cos 6) — a cos 6 09, of] = 8( a cos <\> cos 0) — a sin 89, 8'C = 8(a sin 6).
On a done enfin pour da?, dy, dz les expressions suivantes :
8a? = 8( — a sin^ cos 0 -+- /) — a cos6 89, 8j = 8(a'cos^ cos6 -+- J\) — a sin^1 8<p, 8s = 8(a sinO -h/2),
qui sont bien de la forme (20). En efFet, nous avons actuellement trois variations arbitraires 6% ocp, cty et nous vojons que ox, or, oz peuvent se mettre chacune sous la forme d'une differentielle totale suivie d'une expression differentielle ne contenant pas 0 On pourra done exrire liquation de Lagrange relative au parametre 0.
La force vive du cerceau est, en prenant la masse du cerceau pour united et en employant les notations du n° 411,
2 T = u- -+- v'1 + w- ■+■ A (p- +f-) + Gr2, ou, comme u — — ar, v — o, w — ap.
on pourrait ecrire celte expression a priori en remarquant que, la vitesse de la molecule H au contact etant nulle, les vitesses des divers points du cerceau sont les memes que s'il £tait anime de la rotation w autour d'un axe passant par le point de contact H : il faudra dans cette expression de 2T remplacer p, g, r par leurs valeurs (411 ),
p = 6', q = <]/ sin 0, r = ty' cos ^ ?' 5 d'autre part, il existe une fonclion de forces
U = — gl, = — ga sin8.
Nous venons de voir que Tune des equations du mouvement du cerceau est liquation de Lagrange relative a 6 :
d /dT\ dV
Comme p seul contient 0', on a
comme q et r dependent de 0, on a
— = Atftl/cosO — (G -h a2) r'V sin 0. on
( )n a ainsi liquation
(A -4- «2)^ — A^'cosO + (C + a-) r-J/ sin0 = — gacosQ,
qui n'est autre chose que l'equation obtenue en eliminant Z entre la troisieme des Equations (6) et la premiere des Equations (7) du d° 411.
On pourrait adjoindre a cettc Equation liquation des forces
vives
puisque les liaisons sont independantes du temps; mais on ri'aurait pas le droit d'e'crire les equations de Lagrange relatives
a cp et a ^.
465. Forme generale des equations du mouvement convenant a tous les systemes holonomes et non holonomes (4). — Imaginons un systeme assujetti a des liaisons telles que, pour obtenir le de"placement virtuel le plus general compatible avec les liaisons a l'instant t, il suffise de faire subir a k parametres qLf q<>, qk des variations arbitraires Bqi, dq>2l . . . , dqk. Si nous appelons alors y, z les coordonne'es d'un quelconque des points du sjsteme par rapport a des axes fixes, le d^placement virtuel de ce point a pour projections sur les axes
!ojc = a\ S^i -h a2 S^o -+-...-+-#* tykj $y = bv oqy -h bi Bqz H-. . . -4- bk 8?£, oz = C\ oq{ -+- d 8^2 -+-. .. ■+- Ck oq/;,
ou dqi} dq2, . . . , oqk sont arbitraires : dans ces formules, les coefficients a±, a2, • . • , c/f peuvent dependre du temps des parametres qi} q2, . . . , q/c el d'autres parametres qk+i, ^a+25 • • • » Qk+p dont les variations sont lieges a celles de qi, q2, qk par des relations de la forme
hqic+\ = oq{ -4- a2 oq2 H- • • . + a* oqk, 8?*+2 = Pi 8yi -h [3-2 o^o -+- • • •+ $k%qk,
§qk+P= Ai Bgrt-t-Xjifigrj-h. . ,-h"kktytt
les coefficients a1? a2, A* dependent e"galement de £ et de l'ensemble des parametres qly q2. . .., ^a+/>« Dans
(*) Appell, Comptes rendus, 7 aout 1899; Journal de Crelle, t. 121;7ow/vzaZ c?e Jordan, t. VI, 1900.
ces conditions le deplacement r^el du systeme pendant le temps dt est defini par des relations de la forme
( dx = ax dq{ -h a-> dq2 ■+-... -+• <ik dqk ■+- a dt, ( 3 ) < dy = b\ dq\ H- 62 rfyi ■+-...-+- 6a aT?* 4- b dt,
f dz = Ci dq{ -h c-2 dq-i + Q fl^x- -+- C
avec
dqk-r-v = a! <f^! -f- a2 dq2-h . . .-+- a* dq^-h a d^A+o = pi ^1 -h P2 ^2 -+-. . .■+■ pvt 4- p rf/;
dqk+p == Vi ^1 -+- X2 ^2 -+-.'. . H- Xyt + A
011 les coefficients a/, 6/, c,, a/, (3,, . . . , A, sont les memes que dans les Equations (1) et (2). Les coefficients a, b, c, . . . , a, (3, . . . , a, mulipliant seront nuls si les liaisons ne dependent pas du temps.
On peut alors obtenir les equations du mouvement comme il suit. Liquation gencrale de la Djnamique, deduite du principe de d 'Alembert et du principe du travail virtuel, est
( 5 ) 2 m(x" ox -\-y" By -+- z" Ss ) = 2 (X ox -+- Y oy + Z82),
ou x\ y", z" sont les derivees secondes des coordonnees par rapport an temps, et X, Y, Z les projections d'une quelconque des forces donnees (n° 431).
Cette equation doit avoir lieu pour tous les deplacements (1) compatibles avec les liaisons : elle se decompose done dans les /. equations suivantes :
^m{x" ax-+- y"bi -+- z"cx) = S(X«i-+- Zci), Smt/a4H-/62+ z"c*) = 2(X«2-h Y62-+- Zc2),
2m(x'rak-hywbk-hz"ck)= S(Xa* + Y^+Zq).
Dans ces Equations les deuxiemes membres se calculent comme dans les Equations de Lagrange. En remplacant &p, or, 5s par leurs valeurs (1), on a, pour la somme des travaux virtuel des forces appliqu^es,
S(X Zx ■+■ Yoy -+- Z o«) = Qi B^i -f- Q26<72 + . • .+ Q* 2<7*.
Los quantity Qi , Q2, . . . , Q/. sont les deuxiemes membres des Equations (6)
Q, = S(X<7,-+- Yfti-f-Zci),
Pour calculer les premiers membres, divisons par dt les relations (3), defmissant le deplacement reel, et designons par x\ y' , t i ' 'i ji • i . , l dx dy dz dqx da* dqk
s*,?,, ?„...,*/ les ddnv** tolales 777' 777 ' 7ft' ftT' •"' rfT Nous aurons
L = «i £ i -+- dig'* -+- . . . -h a* ^ 4- a, (7) I v' = 61 q\ <+- 62^2 -4-- • •+ 6* H-
[ z — Cj -h Co <7'2 -+- • • • 4" -+- C,
Prenani encore une fois les derivdes totales des deux membres par rapport a I, on a
!x" == «i <^ -4- a-2 q\ -+- . . . -+- <r//t g'jfc -h . . . , /'= &i #i rir 62 r/2 -h . . . -4- bh q\ -h ... , = cj 0" + c2^ + ...+ y| -h . . . ,
ou les Lermes non Merits ne contiennent pas q'[, q\, q"k. Mais alors on a evidemment
dz"
dz" ■2 = tit »
dx dx"
b,= XL
if
dq\
dy
dq\
Les Equations du mouvemenl s'ecrivent done
Considerons maintenant la fonction
ou J est la grandeur de l'acceleraUon du point m : les equations (9) du mouvement prennent la forme
On voit que, pour les 6"crire, il suffit de calculer la seule fonction S et de 1'exprimer de faoon qu'elle ne contienne plus d'autres derivees secondes que celles des parametres qlt q2, . . . , <ju dont les variations sont regardees comme arbitraircs. II peut arriver que cetle fonclion S, calculee en fonction de r/,, . . ., q/c+p, contienne lours derivees premieres q\, q'2, q'k et leurs derivees
secondes q"n q"2, qk+f}\ les relations (4) clivisees par dt
donnent qk+1, q'/t+2i • • • 1 Cl'k+P eQ fonction lineaire de q't, q'z, . . . , q'k, et, en les de>ivant par rapport au temps, on obtient de meme q"k+*> • • • > <j'k+P en fonclion lineaire de q[, q"2, . . . , qk ; on peut done toujours faire en sorte que la fonclion S ne contienne plus d'autres derivees secondes que q'[, q[n q\ : elle contient
d'ailleurs ces quantites au deuxieme degre. Une fois la fonction S ainsi prepared, on peut ecrire les equations (10). Ces equations joinles aux conditions (4) forment un sjsteme de k + p equations definissant q±, q2, . . . , qk+.p en fonction du temps.
Le mouvement est done caracterise" par la connaissance de la fonction S qu'on appelle (*) Yenergie d acceleration du systeme et par les quantites Qi, Q2, . . ., Q/£ calculees comme dans les Equations de Lagrange.
La fonction S est du deuxieme degre en r/[, q\, . . . , q\. II suffit c\ idomment de calculer dans S les termes contenant les derivees secondes des parametres, car les autres ne donnent rien quand on prend les derivees partielles par rapport a q\, q\, . . ., q"k.
On peut remarquer, d'apres les formules (7) et (8), que si l'on forme la de mi-force vive
les coefficients des termes du deuxieme degre en q\ , q[, , ...,//
(') Gette denomination a ete proposee par A. de Saint-Germain (Comptcs rendus, t. CXXX).
dans T sont identiques aux coefficients des termes du deuxiome degre en <j\ , q\, . . . , q\ dans S. Dans cette fonction S. les coefficients des termes du deuxieme degre en q\: q\, . . ., qk dependent des parametres q2, . . . , qk+p et du temps; ceux des termes du premier degre en q\, q"if . . . , q"k conliennent en outre, au second degre, les derives premieres q\, q'0, . . ., q'k+p*
464. Exemples : Premiere application. — Mouvemenf plan cFun point materiel en coordonnees polaires. — Soient r et 0 les coordonnees polaires d'un point (x, y) de masse m. On a
x = r cos 0, y = r sin 0,
S = = ™ [(r" rb'2)2 j.. (r6"-r- 2r'0')2].
En appelant P la composante de la force appliquee X, Y, suivant la perpendiculaire au rayon vecteur, et R sa composante, suivant le rayon vecteur, on voit immediatement que le travail virtuel
X ox + Y oy
de la force est
P/SO + Ro/-.
Les equations du mouvement sont done
ou
Remarque. — Dans S, la quantite
rfr'-+- 2r'0'
est, au facteur r pres, la derivee de r26'. Introduisons alors, a la place de 0, un parametre X dont la variation reelle est definie par
et la variation virtuelle par
SX = 08.
Nous aurons
X' as r20'3 X" = r(rr-h 2 /•'()'),
done
s = ?{(^>ri)^±x'.],
X k + Y oy = — oX -+- R 8r,
CHAPITRE XXIV. — EQUATIONS GENERALES DE LA DYNAMIQUE. 3g3 et les equations du mouvement s'ecrivent
Or" ~ ' d\" ~ r'
la seconde est
Si P est nul, X' est constant, ce qui donne le theoreme des aires.
DEUXIEME application. — Solide mobile autour dhin point fixe. — Prenons un corps solide mobile autour d'un point fixe O et calculous I'energie d'acceleration S, en rapportant le mouvement a un systeme d'axes O.ryz. mobiles a la fois dans le corps et dans l'espace. Appe-
Ions Q la rotation instantanee du triedre Oxyz et P, Q, R ses composantes
suivant les axes, w la rotation du corps et p, q, r ses composantes. Une
molecule m du corps de coordonne'es x, y, z possede une vitesse absolue v de projections
vx=qz — ry,
Gette molecule possede une acceleration absolue J ayant pour projections
(n) Jx= i p*-4- Q^-r R^y? ?
comme il resulte de ce que J est la vitesse absolue du point de coordoniu;es vXl i'y, vz. On a, en appelant p', q', r les derivees de p, q, r par rapport au temps,
dvx dz dy , .
Or, ) ^> projections de la vitesse relative de la molecule, par
rapport aux axes Oxyz, sont
cai la vitesse relative est la difference geometrique entre la vitesse absolue el la vitesse d'entrainement. D'apres cela, on a 1'expression suivante de Jx que nous ordonnons par rapport a x, y, z :
(12) Ja: = — x(q* +r*)+y [q(p— P)-+-/?Q — r]
+ z[r(p-P)+pR+q'].
I »n a de nieme J, et J-, et enlin
2S = 2m(J*-+-J*H- Jl).
i( , j DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
Le calcul de cette somme se fait alors aisement. On voit que, dans le resultat, figureront les quantites Smx2, Z,my-, Zmz2, 1,/nyz, 2 mzx, Zmxy, faciles a exprimer a Paide des coefficients A, B, C, D, E, F de I'ellipsoi'de d'inertie, relatif au point O, rapporte aux axes Oxyz.
Pour simplifier, nous ecrirons ici cette somme en supposant que les axes Oxyz sont des axes prinripaux d'inertie au point Oi et en appelant A, B, G les moments d'inertie par rapport a ces axes; nous avons alors, en nous bornant aux termcs en p , q\ r :
(i3) 2.S = kp'*H- tic/1-*- Gr'2-h2[(C — B) qr h- A(rQ — q\\)\p
-f-2[(A— C)rp + B(/?R— rP)]q' -f- 2[(B - k)pq -f- C(qP -pQ)] r'n-....
Equations d^Euler. — Prenons comme axes mobiles trois axes invariablement lies au corps et coincidant avec trois axes principaux d'inertie.
Nous aurons alors
P=jP, Q = f, K = r, 2S = A/Z^-h B^+Cr'2
H- 2 ( C — B ) y/y/ -h 2 ( A — C ) rpq' -h 2( B — A ) pqr -b
Appelons L, M, N les sommes des moments des forces appliquees par rapport aux axes, et
5a, o;jl, ov
les angles elementaires dont il faut faire tourner le corps autour des axes pour l'amener d'une position a une position infiniment voisine. Nous ferons jouer a X, v le role des parametres q^ q2, qk- On a, d'une part,
S(X hx •+■ Y 8j -+- Z oz) = L 8X h- M 8|x -t- N ov ;
et, d'autre part, les composantes p, q, r de la rotation instantanee du
corps sont
d\ , . du. . a\ ,
P=(Tt=l' r'=dt=^' r=di=v-
La fonction S est alors
S = -(A.X"a-f- B;jl"2+ Gv"2)
h-(G — B)H.'v'X"-+-(A — G)v'X'[jl"h-(B — A))/[x'v" + ...,
ou les termes non ecrits ne contiennent pas X", jj.", v". Les equations du mouvement sont done
La premiere, par exemple, s'ecrit
Ar+(C-H)|x'v' = L ; d'apres les valeurs de p, q, r, c'est precisement une des equations d'Euler.
Corps de revolution suspendu par un point 0 de son axe. — Menons par 0 un axe fixe O z\, et prenons, com me au n° 4-00 {fig. 234), pour axe O: l'axe de revolution, pour axe Ox la perpendiculaire au plan zOz\, et pour axe O r la perpendiculaire au plan .2:0,3. Quand la position du triedre Oxyz est connue, pour avoir celle du corps, il suffit de connaitre Tangle f que fait avec Ox un rayon issu de O et invariablement lie au corps dans le plan des xy : la derive'e ?' de cet angle, par rapport au temps,
represente la rotation propre du corps autour de Oz. La rotation oj du
corps est alors la resultante de la rotation Q du triedre et de la rotation On a done
P == I\- ? = <R r = R + cp'. La fonction S, definie par l'expression (i3). devient alors, puisque A = B : ( i4) oS = A (p'*-hq'*) -h Gr'2-f- 2(AR — Gr) (pq1 — qp')+....
Soient encore oX, ou, Sv les angles elementaires dont il faut faire tourner le corps autour des axes O r, Oy, Oz pour l'amener d'une position a une position voisine, et L, M, N les moments des forces par rapport aux axes Ox, y, z, ; on a comme plus haut,
et les equations du mouvement sont
e'est-a-dire, puisque la composante R de la rotation Q ne depend pas de A", ji.", v",
A/>' — (AR — Cr)q = L, Ay' -J- (AM — Cr)/> = M, Gr' =N.
On retrouve ainsi les equations (6i) du nH 400.
167. Theoreme analogue au theoreme de Koenig. Application au cerceau. — Soient, dans un syseme, x, r, 3 les coordonnees absolues d'un point de masse m: '£. ry, £ les coordonnees du centre de irravite G, et x*, n, z* les coordonnees relatives d'un meme
3y6 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
point, par rapport a des axes G#i, ri, parallcles aux axes fixes et menes par G. Appelons J0 ^acceleration absolue du point G
Jt I'acceleration relative du point w, par rapport aux axes Gx\.
Ji = ^i2 + yr + -?.
Designons enfin par M la masse totale du systeme. On a
x" = £" -+- x\ , y" = if + y\ , z" = X? + z\ . Calculons alors Yenergie d 'acceleration
cn remarquant que,
^mxi, ^w/i, etant nuls, on a aussi
on trouve
ce qu'on peut ecrire
S = i MJJh-
•en appelant S1 l'energie d'acceleration calculee dans le mouvement relatif autour du centre de gravity.
On a ainsi un theoreme analogue au theoreme de Koenig pour la force vive.
Reprenons avec cette nouvelle methode le probleme du cerceau traite au n° 411 {fig. 244) avec les memes notations.
Prenons la masse du cerceau pour unite; appelons J0 Tacceleration du
point G et Ji l'acceleration relative d'un point m du cerceau par rapport a des axes de direction fixes Gxi, jki , Zi passant par G. En appliquant le precedent theoreme analogue an theoreme de Kcenig, on a
S = ij§-f.Sl.
Le mouvement relatif du cerceau autour du point G est le mouvement d'un corps de revolution suspendu par un point de son axe. En appliquant a ce mouvement les notations du numero precedent on a, d'apres (i4)>
2St = A(/>'2 + q'-)-+- C/'-+2(AR- Gr)pq' — qp')^-. . ..
II reste done a calculer J 5. Pour cela appelons u, v, w les projections de la vitesse absolue du point G sur les axes Gx, Gy, Gz : pour exprimer que le cerceau roule, il faut ecrire que le point materiel du cerceau qui se trouve en contact avec le sol, au point H, a une vitesse nulle. On a ainsi
(id) u -+- ar = 0, v = o, w — ap = o.
Comme la rotation instantanee du triedre Gxyz est Q, l'acceleration absolue du point G a pour projections sur les axes Gx, Gy, Gz :
du
e'est-a-dire, d^apres (i5),
— a(r'— Qp), — a{Vp -b Rr), aQo'+Qr), et Ton a, en faisant la somme des carres et remarquant que P — p, Q = q, J 2 == a-(p'--\- r'2) — ?.a^q(pr' — rp' )-+-. .
ou nous n'ecrivons pas les termes ne contenant pas p ' , q' , r'r On a done en fin
2S =5 ( A H- a2 ) pi -h kq'--h (G -+- a* ) r'2
-h 2( AR — Cr) {pq — qp') — 2a2q(pr' — rp')-h....
Appelons encore
OA, 0{JL, ov
les angles infiniment petils dont il faut faire tourner le cerceau autour des axes Gx, Gy, Gz, pour l'amener d'une position a une position infiniment
voisine. Ges quantites sont arbitraires et determinent completement le deplacement du cerceau. Nous prendrons a, fx, v comme parametres ql}
qtj . . ., <[k (k — 3), et nous aurons encore
Nous pouvons alors ecrire les premiers mernbres des equations du mouvement telles que (10). II reste a calculer les deuxiemes mernbres. Pour cela il faut calculer la somme des travaux des forces appliquees :
(X&t + Yoj-hZos) et la mettre sous la forme
L' -h M' ojj. -+- N' 6v ;
L', M', N' seront les deuxiemes mernbres des equations. Ces quantites ont une signification simple. Menons par le point de contact II avec le sol trois axes Hx', Hj', Hz' paralleles aux axes Gx, Gy, Gz : L', M', N' sont respectivement les sommes des moments des forces appliquees prises par rapport a ces nouveaux axes. En effet, la vitesse de la molecule placee en H etant nulle dans un deplacement compatible avec les liaisons, le de'placement infiniment petit du cerceau est le deplacement resultant de trois rotations elementaires 8X, ou, ov autour des axes Hx', Hy', Hz', sans deplacement de H; ce qui demontre la proposition.
Si la seule force appliquee est le poids g applique en G, on a evidemment
L' = — ga cos®, M' = 6, N'=o.
Les equations du mouvement sont alors
dS ' OS dS
-=-gacost, ^r=o, ^=o,
e'est-a-dire, d'apres la valeur de S,
(A + a2)/ — ( AR — Cr) q -+- a2 qr = — ga cos 0, A?'+(AR — Cr)p = o, ( C -+- a- ) r — a2 pq = o,
dont les deux dernieres sont identiques aux equations (9) et (10) du n° 411 et la premiere a l'e'quation de Lagrange relative a 8 (n° 464).
On traitera de la meme facon le probleme general du roulement d'un corps pesant de revolution quelconque sur un plan. [Voir Develnppements sur une forme nouvelle des equations de la Dynamique, par P. Appell {Journal de Mathematiques de M. Jordan^ t. VI, fasc. 1, 1900, p. 33).]
Le mouvement d'une sphere, assujettie a rouler sur une surface de revolution, a ete etudie par M. Fritz Ncether, a Erlangen, dans une these presentee a l'Universite de Munich en 1909 (Teubner, editeur).
168. Les equations du mouvement obtenues en cherchant le minimum d'une fonction du second degre. — Si Yon forme la fonction
R = S - (Q.r/t + Qsfir'i + . • .+ Qk fk)
qui conlienl les quantites q" au deuxieme degre, on voit que les equalions du mouvement (9) peuvent s'ecrire
dR dR dR
dq\ dq\ dq'k
Ce sont les equalions que Ton aurait a ecrire pour trouver les valeurs de q\, q"2, . . . , q"k rendant R minimum. Inversement les valeurs des q" tirees de ces equations rendent R minimum, car les lermes homogenes du deuxieme degre de R proviennent de S et constituent une forme quadratique definie positive. Gomme les valeurs des q" determinent les accelerations, on peut interpreter ce resullat en disant que les valeurs des accelerations a chaque instant rendent R minimum.
Dans cet enonce, on peut remplacer la fonction R par toute autre fonction qui en differe seulement par des termes independants des accelerations, par exemple par les deux fonctions suivantes :
I 2 Jn C( mX"~ X)'2 + ( mf~ Y )2 + ( m Z"~ Z )2 ]-
Le fait que les accelerations rendent cette derniere fonction minimum est une consequence du principe de la moindre contra inle de Gauss, sur lequei nous reviendrons a la fin du Chapitre suivant.
469. Sur rimpossibilite de caracteriser un systeme non holonome par la seule fonction T. — Ouand les liaisons d'un systeme sans frottement peuvent etre exprimees en termes finis et quand on emploie des parametres qui sont de veritables coordonnees, les equations de Lagrange sont applicables. Supposons, pour simplifier, qu'il existe une fonction de forces U. On peut alors ecrire les equations du mouvement des que Ton connail les expressions de la demi-force vive T et de U en fonction des parametres independants.
Si, au contraire, les liaisons nc peuvent pas s'exprimer toutes par des relations en termes finis, on ne peut plus appliquer les equations de
Lagrange; pour ecrire les equations du mouvement, il suffit deconnaitre U
et Tcnergie d'acceleration S = ~^^m^2 composee avec les accelerations
corame T avec les vitesses. Mais cela est-il ne'cessaire ?
Ne pourrait-il pas exister des equations du mouvement, plus generales que celles de Lagrange, applicables a tous les cas et n'exigeant, pour etre ecrites, que la connaissance des deux fonctions T et U ? Nous allons montrer que de telles equations n'existent pas. Pour cela, nous indiquerons deux systemes difl'erents dans lesquels les fonctions T et U sont identiquement les memes sans que, cependant, les equations du mouvement soient les memes.
Premier systeme. — Imaginons un solide pesant qui remplisse les conditions suivantes :
i° Le solide est termine par une arete vive ayant la forme d'un cercle K de rayon a;
2° Le centre de gravite G du corps est situe au centre du cercle K; 3° L'ellipsoide d'inertie relatif au centre de gravite G est de revolution amour de la perpendiculaire Gz au plan du cercle.
Supposons ensuite que le corps solide ainsi constitue soit assujetti a rouler sans glisser sur un plan horizontal fixe, qu'il touche par Tarete circulaire K.
Soit, comme au n° 411, Gzi la verticale ascendante menee par G; prenons comme axe Gx la perpendiculaire au plan zGzi et comme axe Gj la perpendiculaire au plan xGz. Gx est alors une horizontale du plan du cercle K et Gy une ligne de plus grande pente de ce plan aboutissant au point par lequel le cercle touche le plan fixe. Designons par 0 Tangle de Gz avec la verticale ascendante Gzi et par l'angle de Gx avec une horizontale fixe. Ges deux angles determinent l'orientation du triedre Gxyz. Pour fixer la position du corps solide par rapport au triedre Gxyz, il suffit de connaitre Tangle o que fait un rayon de cercle K, invariablement
lie au corps avec Taxe G#. La rotation instantanee to du corps est alors la
resultante de la rotation du triedre et d'une rotation — = c' autour de Gz.
dt
Les composantes p, q7 r sont done
p = 6', q — 'V sin 0, /• = <|/cos 0 + z' .
D'autre part, la condition que le cercle K roule montre que le carre de la vitesse du centre de gravite G est a2(p--h r-). En definitive, en prenant la masse du corps comme unite et appelant A et C les moments d'inertie par rapport a Gx et Gz, on a
2T = a*(p*+ /-a).*. k(pi~ q*) +- Crs,
CHAPITRE XXIV. — EQUATIONS GENERALES DE LA DYNAMIQUE. foi d'ou, pour l'expression definitive des fonctions T et U,
I 2T = A<|'2 sin'-o +(Af «2) 0'*-:- (C a2)(d/cos 0 -+- cp')2,
(1) ( U= — ^asinO.
Deuxieme systeme. — Soit un deuxieme corps pesant, de meme forme, de meme rayon a et de meme masse que le precedent. Imaginons que la distribution de la masse soit differente, de telle fecon qu'en appelant Ai et Gi les moments d'inertie analogues a A et C on ait
A i = A, Gi = G -+- a-.
Assujettissons ce corps aux deux liaisons suivantes : le corps touche, par l'arete circulaire K, un plan horizontal fixe Pi sur lequel il peut glisser sans frottement; le centre de gravite G du corps glisse sans frottement sur une circonference verticale fixe dont le rayon est a et dont le centre 0 est dans le plan fixe P4.
Pour exprimer ces liaisons, prenons les memes axes mobiles Gxyz et les memes notations que plus haut; appelons £, r\, t, les coordonnees absolues du point G'par rapport a deux axes 0£ et Ot\ du plan Pi et une verticale ascendante O'C- On peut supposer que la circonfe'rence verticale fixe, de'erite par G, est dans le plan £0£; on a alors
Premiere liaison : £ = a sin0; Deuxieme liaison : y\ = o, ^2-f- = a- ;
d'ou, evidemment,
\ = a cos 0
On a, dans ces conditions,
2 Ti = r2 "+" -n'2 + C2 + A! (p* + q* ) + Gi r\ ou, d'apres les valeurs de ^, i\, £, Ai et Ci,
( 2T1 = AtL'2 sin20 -f- ( A -h a2 ) 0'2 -4- ( G -f- a2 ) ( *V cos 8 -f- cp')2,
f Ui = — ga sin 0.
On voit que les fonctions T et Ti, U et Ui sont identiques : cependant, les equations du mouvement sont differentes, car les equations de Lagrange s'appliquent au deuxieme systeme et ne s'appliquent pas au premier. C'est ce que nous voulions montrer.
On peut remarquer que, sur les trois equations du mouvement, deux peuvent £tre amenees a avoir la meme forme dans les deux systemes : en effet, l'integrale des forces vives est evidemment la meme pour les deux; de plus, on a le droit d'ecrire pour le premier systeme l'equation de Lagrange relative a 0 (n° 164), ce qu'on peut faire evidemment pour le deuxieme. Mais les troisiemes equations sont diflerentes dans les deux
APPBLL. — Traili de MCcuniqite. n. 26
mouvements; pour le deuxieme systeme, on ;i l'integrale r = r0 qui n'existe pas pour le premier.
fl va de soi que la difference entre les deux mouvements apparait immediatement si Ton forme les deux fonctions S et Si.
Remarque sur les, liaisons exprimees par des relations non lineaires par rapport aux composantes des vitesses. — Les liaisons non holonomes, telles que les roulements, considerees jusqu'ici, s'expriment par des relations lineaires entre les differentielles des coordonnees determinant la configuration des systemes. Mais on peut considerer des liaisons plus generales, exprimees par des relations non lineaires entre ces differentielles. Le principe du n° 468 permet encore de traiter ces questions (Appell, Comptes rendus, 8 mai 191 1, et Bendiconti di Palermo, 1911.)
