VII. - LIAISONS COMPORTANT UN ASSERVISSEMENT
470. Asservissement. — Dans une these remarquable soutenue en novembre 1922 devant la Faculte des Sciences de Paris et relative a V Etude theorique des compas gyrostatiques Anschutz et Sperry, M. Henri Beghin a introduit la notion nouvelle d'asservissement.
II existe une categorie importante de mecanismes qui realisent les liaisons par une methode toute differente de celles qui viennent d'etre examinees. Pour ces mecanismes, on ne peut /aire abstraction du mode de realisation des liaisons.
Les liaisons realisees par ces mecanismes peuvent etre quelconques; elles sont le plus souvent holonomes. Mais, au lieu que ces realisations soient, pour ainsi dire passives, obtenues par simple contact, elles utilisent des forces quelconques (forces electromagnetiques, pression d'air cornprime, etc.) en un mot, des sources d 'energie auxiliaires, qui entrent en jeu automatiquement, et sont automatiquement dosees de maniere a realiser a chaque instant telle ou telle liaison. On peut meme imaginer un etre anime agissant par contact, et reglant son action de maniere a realiser telle ou telle liaison.
Soit un solide 2, par exemple un disque, mobile autour d'un diametre A sous I'influence de certaines forces donnees. Un solide Si, par exemple un anneau concentrique, de diametre A, est mobile autour de A sans avoir aucun contact avec 2. L'anneau 1^ porte une roue dentee a d'axe A, engrenant avec un pignon b cale sur l'arbre d'un moteur M. II est facile d'imaginer un dispositif (*) qui, sans agir directement ni sur 2 ni sur Si, mette le moteur M en marche, dans un sens ou dans 1'autre, toutes les fois que 2
i1) Voir la description du Compas Sperry (The Sperry Gyrocompass, 7).
et Si ne sont pas dans un merae plan. Si a et at sont les azimuts de S et de Si, la liaison
se trouve ainsi realisee : de sorte que Vanneau 2t suit le disque S dans tons ses mouvements autour de A, sans etre entraine par lui. II est evident que la maniere dont se comporte ce systeme n'a rien de commun avec la maniere dont il se comporterait si 2 entrainait par contact direct : si, par exeinple, un petit ressort fixe a 24 s'appuie sur 2, le systeme prendra une rotation uniformement acceleree dans le cas de Tasservissement, alors qu'il resterait evidemment immobile dans la seconde li\ potliese.
Quelles sont, dans l'exemple precedent, les forces de liaison du systeme? Si je considere le systeme SSl5 ces forces sont, d'une part, les reactions le long de Faxe A qui sont des forces de liaison ordinaires, et les reactions du pignon b sur la roue a. Ces reactions, qui jouent un role capital dans le probleme, ont un caractere tout a fait special, car le pignon b (obstacle etranger) qui les exerce n'est pas fixe, ni de mouvement connu d'avance en fonction de t : c'est un obstacle dont la position est connue d^avance en fonction des parametres (ici a, a1 ) dont depend le systeme considere SSi.
Si j'englobe dans le systeme considere le rotor R du moteur M, les forces de liaison sont, outre les actions de contact des obstacles fixes et les actions au contact RSj, qui sont des forces de liaison ordinaires, les actions electromagnetiques auxquelles le rotor est soumis de la part du stator. Ces forces ont, en effet, le caractere des forces de liaison : elles sont inc >nnues, mais on sait qiCelles ont la valeur qiCil faut pour assurer la liaison consideree.
Dans tout deplacement elementaire compatible avec la liaison a = a4, les forces de liaison ordinaires ont un travail nul ; au contraire, les autres forces de liaison — qu'il s'agisse des reactions d^bstacles etrangers dont la position depend des parametres a, al3 ou de ces actions electromagnetiques s'exercant a distance sur le rotor — ont un travail different de ze'ro. Et c'est en cela que les mecanismes comportant un asservissement se distinguent des autres.
Etude g6nerale des mecanismes comportant un asservissement . Principe de cPAlembert. — Soit un systeme materiel S ne presentant aucune cause de dissipation d'cnergie. Snpposons, en outre, qu'aucune partie de ce systeme ne soit susceptible de contraction ou de dilatation, a l'exception de ce qui sera admis ci-dessous.
En tenant compte des contacts qui lui sont imposes, ce systeme est suppose dependre d'un nombre limite h de parametres q[y q*,..., q/n de telle maniere que les coordonne'es x, y, z de chaque element de £ soient
4o4 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
des fonctions connues cTavance de ces parametres et, peut-etre aussi, du temps t :
(1) ^ =f(r/lf </,, .. .,qh) 0; r=.--; z=....
Certains des obstacles etrangers avec lesquels 2 est en contact sont fixes, ou dependent de t; d'autres, par suite des contacts imposes, sont supposes dependre d'un certain nombre k des parametres precedents, soit^i,..., q/c, et, peut-etre aussi, de
Ces conditions de contact sont des liaisons holonomes par contact.
Supposons en outre le systeme soumis a certaines liaisons non halonomes, c'est-a-dire que les parametres qY,..., q/t sont lies par un certain nombre p de relations differentielles exprimant des conditions de roulement sans glissement ou sans pivotement en certains contacts. Ces relations permettraient d'exprimer les p variations elementaires
dqn+u dqn+z, dqn+p (n-^p = h),
en fonction de dqt, <lq1:. . . , dqn et de dt\ elles sont de la forme
^ Ai dq{ + ...+ Aji dqh -h A dt = o.
(2) (p relations) I Bi dq\ -h . . . H- Bh dqh -4- B dt == o,
Ces conditions sont des liaisons non hnlononies par contact. Ce sont ces deux seuls types de liaisons que Ton rencontre dans les problemes courants.
Dans tout de'placement elementaire compatible avec les liaisons, telles qu'elles existent a 1'instant t, c'est-a-dire dans lesquelles ot est nul. et 8(7,,..., §qn arbitraires, les reactions mutuelles entre les corps du systeme ont un travail nul, ainsi que les reactions d'obstacles fixes ou dependant de t. Je dirai que ces reactions sont des forces de liaison de premiere espece.
Le systeme 2 est suppose soumis, en outre, a d'autres liaisons, que ^appellerai liaisons par- asservissement . s'exprimant, elles aussi, par des equations finies ou par des equations differentielles lineaires, mais realisees au moyen de forces tout a fait differentes : ces forces, que j'appellerai forces de liaison generalisees ou de deuxieme espece, sont appliquees a des corps du systeme : elles peuvent etre exterieures ou interieures.
Dans le premier cas, ce sont, soit des actions a distance, electromagnetiques ou autres, qui sont reglees automatiquement de maniere a assurer la liaison finie ou diflerentielle qu'elles sont chargees de realiser, soit les actions de contact des obstacles etrangers, dont la position a ete supposee dependre de qu..., q^, t, dont le mouvement doit etre regie automatiquement de telle maniere que certaines equations finies ou differentielles soient verifiees a chaque instant par les parametres q.
Dans le deuxieme cas, c'est-a-dire si ces forces de liaison de deuxieme espece sont interieures, ce sont, soit des actions a distance, electromagne-
tiques, soit des efforts interieurs dans des corps susceptibles de contraction ou de dilatation (air comprime, muscles d'un etre anime), effort qui sont regies automatiquement — par exemple, par la volonte de l'etre anime — ■ de maniere a realiser telle ou telle liaison. Sauf cette exception, le systeme ne sera pas suppose compressible.
Le systeme 2 pourra etre constitue par un moteur electrique dont la vitesse <o serait independante de la charge, comme serait, par exemple, dans certaines limites, un moteur-derivation. La liaison d'asservissement ainsi realisee serait de la forme
r/6 = ta dt.
Le systeme pourra etre constitue par un cycliste et sa machine ; le cycliste pourra contracter ses muscles, non pas d'une quantite donnee, mais d'une quantite dosee de telle maniere que certaines liaisons se trouvent re'alisees : il reglera Taction de ses jambes de maniere a realiser une vitesse angulaire constante, ou bien il contractera les muscles du corps de maniere a realiser une inclinaison du cadre fonction de t, etc. Les methodes indiquees cidessous permettront d'etudier la variation des parametres inconnus.
On pourrait imaginer aussi, comme application, un navire 2 dont une partieadela cargaison serait mise en mouvement automatiquement par un moteur de maniere a realiser certaines liaisons : on pourrait, par exemple, comme condition d'asservissement, obtenir que le navire restat constamment vertical, ce qui realiserait un stabilisateur de roulis;un petit appareil gyrostatique, base sur le principe du stabilisateur Schlick, indiquerait a bord la verticale vraie; le moteur d'asservissement entrerait cn action des que cette verticale ne serait pas dans le plan de symetrie du navire. On pourrait ainsi regler le mouvement de <r de maniere a realiser telle relation entre sa position et Pinclinaison du navire. On pourrait ainsi changer a volonte la periode d'oscillation du navire et eviter, le cas echeant, le synchronisme de la houle. On pourrait regler le mouvement de a de maniere a realiser telle relation entre sa position et la vitesse angulaire du navire, ce qui permettrait d^mortir les oscillations, etc. Les forces de liaison de deuxieme espece seraient ici les actions mutuelles de 2 et de a.
Un systeme materiel presentant des forces de liaison de deuxieme espece sera dit comporter un asservissement. II est manifeste que le travail virtuel des forces de liaison de deuxieme espece est generalement different de zero.
Ges definitions posees, imaginons que les relations d'asservissement soient au nombre de r, les une finies, les autres differentielles, de la forme
(3) (r relations)
I £ i dq i -+- Eg aqz H- . . . ■+■ £ /, <fq /t -+- £ dt = o, ....
Les deplacements virtuels du systeme, compatibles a\ec les liaisons par contact, telles qu'elles existent a l'instant t(ot — o), s'obtiennent en
4o6 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
prenant arbitrairement h—p des variations elementaires oq1: or//,; les p autres etant definies par les relations (i) qui se reduisenf ici h
I A, oqi 4-...-+- \h Zqh — o. (2') (/(relations) / P>, 8^ -+- . . . h- 15/, oqh — 0,
Parmi ces deplacements, il en existe pour Iesquels on peut affirmer a priori que le travail des forces de liaison de deuxieme espece est nul, sans connaitre autre chose que leur mode d'action; nous supposons que ce soiertt ceux qui verifient simultanement les j relations
(4) (j relations)
a!o^1 + ...+ a/, bq/t = o, li $q± -h . . . ■+■ lh oqu— o.
Le principe de d'Alembert applique a l'un quelconque de ces deplacements s'exprime par l'e'quation
( 5 ) 2 m ( x" ox ■+- y" oy -+- z" oz ) = 2 ( X 0 x -+- Y oy -4- Z 8 z ),
le signe 2 du premier membre s'etendant a tous les elements du systeme, m designant la masse de Pun de ces elements, x'\ y", z", les projections de son acceleration, le signe 2 du second memhre s'etendant a toutes les forces donnees X, Y, Z. II est evident, en effet, que, pour ces deplacements, les forces de liaison, qu'elles soient de premiere ou de deuxieme espece, ont un travail nul.
Cette equation se decompose en h — p — /, puisque, les h variations elementaires 0^1,. . ., dq/t etant assujetties aux p relations (2') et aux j relations (4), h — p — j de ces variations seulement sont arbitraires.
Pour Genre effectivement ces equations, nous emploierons la methode des multiplicateurs de Lagrange : x,y, z etant exprimes en fonction de qu q/t, t par les equations (1), le premier membre de Pequation (5) est la somme de h termes de la forme
S?2 m f- + f I + * g ) = P Sf ,
ou q designe Pun quelconque des h parametres. Le second membre est la somme des h termes de la forme
L'equation de d'Alembert s'ecrit (8) (Pi-Q1)^i + (P2-Q2)8Sr2 + ...-+-(P/i-Q/i)^/i=o.
A cette equation, ajoutons les p relations (2') respectivement multipliers par les coefficients A, M,..., et les j relations (4) respectivement multi-
pli(:es par X, ces coefficients A, M, X, ... constituant
p -+- j inconnues auxiliaires. Nous obtenons l'equation
( 9 ) £ ( P4 — Qi- -h AAf -+- MB* -f- ... -4- X at -+- fx bt -+- ... ) oqL = o,
011 / represente les indices i, 2, h. Les multiplicateurs A, M, X, (u, ... peuvent etre choisis de maniere que jes coefficients de p -by des variations oqL soient mils, car il est bien entendu dans ce qui precede que les relations (2') et (4) sont independantes. L'equation (9) devra etre verifiee quelles que soient les h — q — j autres variations hq t de sorte que les coefficients de ces k — p — j ' \ ariations dans l'equation (9) devront eux aussi etre nuls.
En resume, le probleme se ramene a resoudre les h equations
Qi-h A A ! -+- MBi — . . . h- X «i -h \xbi-^. . . = o, Qo-+- AA»+ MBo-h. . .-+- X «2+ \J-bi-\-. . . = o,
auxquelles il y a lieu d'adjoindre les p equations (2) exprimant les liaisons non holomones par contact et les r equations d'asservissement (3) soit, en tout, h -+- p -+- r equations a h -h p -h j inconnues (,'qu q/ly A, M, X. ix, ...).
S'il arrive que r soit superieur a j, le probleme est generalement impossible, e'est-a-dire qu'il n'est pas possible de realiser un nombre de liaisons d'asservissement superieur au nombre de conditions restrictives qu'il faut imposer aux parametres q pour annuler le travail virtuel des forces de deuxieme espece.
Si r est egal a j, le probleme se resout paries equations (2), (3) et (10).
Si /• est inferieur a j, le mouvement est indetermine : on concoit d'ailleurs que, si la fonction que doivent remplir ces forces de deuxieme espece n'est pas suffisamment definie, leur elimination devient impossible, et que le mouvement ne peut s'etudier sans qu'on se les donne partiellement.
Cos particuliers. — i° Supposons que les equations (2') qui expriment que les deplacements virtuels sont compatibles avec les liaisons non holonomes par contact et les equations (4) qu'on est conduit a introduire pour annuler le travail des forces de liaison de deuxieme espece, soient resolues par rapport aux j) = in variations 8^1,. . ., oqm :
/ oq, = <9Lm+i Sqm+i -+-.. . -h Oih Hh,
oqm = £m+i ^ q m + 1 -*-.. .-+- -I?// oqh;
les multiplicateurs de Lagrange deviennent inutiles; remplacant, dans l'equation (8), 0*7...... $qm par ces expressions, j'obtiens une equation
4o8 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
lineaire en 8^m+i, . .., oq/n qui doit etre verifiee, quelles que soient ces variations, d'ou h — m equations de la forme
(12) Vm+i— a^+iCFi— Qt). . .-+- £m t ;(Pm- Qm)= o,
ou i designe l'un des nombres i, 2, .... h — m.
A ces equations, il y a lieu d';idjoindre les p equations (2)et les /* equations (3) d'asservissement.
20 Si les equations (11) se reduisent a
les equations du raouvement se reduisent a la forme simple
(14) Pm+l-Qm+l, P^=Qa-
3° Supposons que les forces de liaison de seconde espece soient uniquement les actions de contact d'un systeme auxiliaire 2t d'obstacles mobiles, dont la position depend de certains qi, . . ., qk des parametres qu . . ., qi,. Dans ce cas, les relations (4) sont
(15) %qi=o, . .., Zqk=o,
car c'est en laissant fixes ces obstacles qu'on annulera le travail de leurs actions sur le systeme donne 2. Les multiplicateurs X, a, ... deviennent inutiles, car l'equation (8) ne contient plus que S^a-h-i, • • •> ^qn- Les equations (10) se reduisent aux suivantes, au nombre de h — k,
I Px.-+1 — Qk+i -+- AA{-+i + MB*+i 4-... = o,
f Ph-Qh-h AAA+MBA+...= o,
auxquelles, corame dans le cas general, il y a lieu d'adjoindre les p equations (2) et les /• relations (3 ), soit h — k -+■ p -h r relations a h -hp inconnues. Le probleme est determine, si le nombre d'equations d'asservissement est egal au nombre A: de parametres dont depend le systeme auxiliaire St.
4° Les hypotheses etant celles du paragraphe precedent (S*0), nous supposons, en outre, que les liaisons par contact du systeme soient toutes holonomes (p — o); les multiplicateurs A, M,' . . . deviennent, eux aussi inutiles, et les equations (10) se reduissent aux h — k suivantes :
(17) P*+i = -Q*+i, P/t=Qa,
auxquelles il y a lieu d'adjoindre les r equations (3) exprimant l'asservissement. Les inconnues sont uniquement qr, . . ., q/,.
Re marque. — i° Dans les systemes sans asservissement, les deplacements virtuels auxquels on applique l'equation de d'Alembert sont ceux qui sont compatibles avec toutes les liaisons. Dans les systemes eomportant un
asservissement, ce sont des emplacements tout difi'erents : on a ainsi en evidence les raisons analytiques de la difference qui existe entre ces deux categories de systemes, et Ton coneoit tout l'interet qui s'attache, au point de vue industriel, aux niecanismes qui comportent un asservissement.
2° Dans le cas ou les forces de liaison de deuxicme espece sont uniquement les reactions d'obstacles mobiles dont la position est fonction de certains parametres q (cas 3° et4°), la solution du probleme est independante de l'inertie de ces corps et des forces donnees qui leur sont appliquees.
Si done, dans un systeme soumis a /' relations d'asservissement, on peut faire deux parts 2, Si, telles que le systeme partiel 2 ne soit soumis a aucune force de liaison de deuxieme espece, en dehors des reactions du systeme Hi, si, d'autre part, le nombre de parametres dont depend ce systeme Ht est egal au nombre de conditions d'asservissement, l'inertie et les forces donnees appliquees a Si n'influent pas sur le mouvement de S; la methode indiquee aux cas particuliers 3° et 4° permet de mettre le probleme en equations sans introduire ni ces forces d'inertie, ni ces forces donnees. Le systeme partiel joue alors un role auxiliaire. Ce cas particulier se presente frequemment dans les applications.
Equilibre des systemes eomportant un asservissement. — Le principe de d'Alembert donne les conditions d'equilibre, si l'on y supprime les P, termes provenant des forces d'inertie du systeme considere. Les equations (10) relatives au cas general et les equations (12), (i4)? C1^) ou (17) relatives aux cas particuliers etudies donnent done les equations d'equilibre, si Ton y remplace les P par zero. A ces equations, il y a lieu d'adjoindre celles des equations d'asservissement qui sont finies; les equations differentielles exprimant des liaisons non holonomes, que ce soit par contact ou par asservissement, ne sont evidemment pas a adjoindre : elles sont identiquement verifiees.
Extension des equations de Lagrange. — Les conditions etant les conditions generales definies au debut (p. 4°3), les coordonnees x} y, z des differents elements du systeme considere 2 s'expriment par des expressions finies [equ. (i)] en fonction du temps t et des parametres qi, . . ., q/t dont depend le systeme lorsqu'on ne tient compte que des liaisons holonomes par contact; or l'expression
a pour valeur
dq
On etendra ainsi les equations de Lagrange aux systemes eomportant un asservissement, en remplacant Pi, P/, par ces expressions dans les
equations (10).
4lO DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
II est essentiel de remarquer que la force vive doit se calculer en fonction de qi, q ki q'i, q)n t, sans tenir aucun com pic des liaisons dVtsservissement. II en est de meme du travail elementaire
Qio<7, -h. . .-+- Qhty'h
des forces donnees. Si ces forces admettent une fonction des forces, c'est-
. . . , d\J dV c . rT .
a-dire si O,, .... Q/, sont les denvees - — 5 • - — d une lonctions Li de
dqi dq/i
qt, . .., q/n t, cette fonction U sera calculee sans s'occuper de l'asservis-
sement. Ce n'est que dans les equations elles-memes, c'est-a-dire dans les
. ^ dT d / ()T\ .... 4 ,
expressions Q, ~T ( ~A~~> 1 (lu pourra en etre tenu compte. Lependant,
dq dt \ ()(/'
la derivee de ^7 par rapport a t etant prise dans Ie mouvement reel, lequel
est compatible avec les liaisons d'asservissement, on pourra efT'ectuer sur -- ,-
toutes les simplifications resultant de ces liaisons avant de deriver par rapport a t. En resume, on pourra tenir compte de Vasservissc ment apres
avoir termine le calcul des trois categories d"1 expressions Q, o^f''
Equation de la force vive. — Les liaisons par contact etant supposees ne pas dependre de t, en particulier, les equations (2) qui repre'sentent les . liaisons non holonomes n'ayant pas de termes en dt{ A = B = . . . = o), les forces donnees etant supposees admettre la fonction des forces U(<7i, qn), nous multiplions les equations (10) donnant le mouvement dans le cas general, par dqiy . . ., dq/t, variations elementaires des parametres dans le deplacement reel, 1'expression
P4 dqt -4- . . . -+- P/tdqh
donne le travail change de signe des forces d'inertie
Sm( x" dx -4- y" dy -h z" dz),
c'est-a-dire la differentielle dT de la demi-force vive. L'expression
Qi«tyi-+-- • Qhdqh est egale a dU ; le multiplicateur A a pour coefficient
Ai dq{ -+-. . .+ Ahdqh,
qui est nul, puisque le deplacement verifie les equations (2); il en est de meme pour les coefficients analogues M, .... On a done l'equation
d(T — U)-f- dqi-h. . .-+- ah dq/t)-h bx dq{ -h ...-+- bfl dqh)-\- . . . = o.
On voit que T — U n'est pas constant ; les termes en X, \i — representent le travail elementaire des forces de liaison dedeuxieme espece qui n'est pas nul en general, les conditions ( 4 ) n'etant pas imposees au deplacement reel. Suivant son signe, ce travail correspond, pour le systeme S considere, a un appof^t ou a une depense cV energie mecanique.
II en est de raeme dans chacun des cas particuliers definis precedemment : la combinaison des forces vives ne donne par l'expression d(T — U ), car une partie seulement des expressions P1} . . ., P/t, Ql3 . . ., Q/j figurent dans les equations du mouvement.
II est inte'ressant d'en conclure que U asservissement pourra permettre >l 'au g me nter ou de diminuer a volonte V energie mecanique d'un systeme^ en particulier d'amortir les oscillations d'un systeme ne presentant aucune cause de dissipation d'energie.
Application. — Soit, dans un plan fixe, une plaque S articulee en un point G a un plateau circulaire Si, mobile autour de son centre O. Une force parallele a une droite fixe Ox et de grandeur constante F, s'exerce sur la plaque 2 en un point A situe sur la droite qui joint G au centre de gravite G. Un moteur d'asservissement M agit par engrenages sur le plateau Si, de maniere a realiser constamment la liaison
La liaison d'asservissement etant unique, et, d'autre part, le plateau Si dependant d'un seul parametre a, le systeme S, pris isolement, rentre dans le 4e cas particulier (p. 4o8) : on pourra done appliquer les equations de Lagrange a la plaque S seule ; on voit que la masse du plateau Si sera sans inlluence sur le mouvement. La force vive de S est
2 T = M ( Rq- a'* -+- 62 p'2 -f- 2 R 6 a' |j' cos (a — P) k- p ),
M/f2 designant le moment d'inertie de S en G. Le travail virtuel de la force F est
d% = F 8(R cos a -+- acos jB).
Seule, Tequation relative a p est a ecrire :
si Ton lient compte de la liaison d'asservissement; d'autre part,
L'equation du rnouvement est done ( 5 ) M ( b* -+- k* ) — M R h §'* -f- F a sin (3 = o.
Si la liaison a — (3 = etait realisee par contact direct entre 2 Ct Si, le rnouvement serait tout different : il serait regi par l'equation
(6) [M(R2-h b*- 4- A-2) -h Ii] FO sinp -4- R cosp) = o,
It designant le moment d'inertie du plateau en O. L'equation (5) donnerait faeilement le rnouvement : |3'2 s'obtient en ajoutant un terme sinusoidal en p a un terme exponentiel : [3 varie entre deux limites, dont l'une peut etre rejetee a Tinfini. L'equation (6) donnerait, aucontraire, un rnouvement pendulaire.
Les positions d'equilibre s'obtiennent en annulant le second membre de l'equation (4). On trouve ainsi les deux positions pour lesquelles CA est parallele a la force; l'equation (6) donnerait, au contraire, les positions pour lesquelles OA est parallele a la force.
Extension des equations du n° 465. — Les equations du n° 465 presentent les avantages suivants : i° elles sont susceptibles de s'appliquer aux systemes soumis a des liaisons non holonomes, sans qu'on ait a introduire, comme inconnues auxiliaires, un systeme de multiplicateurs : 2° elles permettent l'emploi de parametres auxiliaires lies aux coordonnees veritables q{, . . ., q/i par des relations differentielles.
Soit done un systeme 2 remplissant les conditions indiquees au debut (p. 4o4)- En tenant compte des liaisons holonomes par contact qui lui sont impose'es sa position depend des h parametres q\, . . ., q/t et peut-etre de t, de telle sorte que les coordonnees de chaque element de matiere sont des fonctions finies de la forme
(1) ®=Aqu •.••> 9h, t), /=..., z=....
A ces parametres, supposons adjoints s parametres auxiliaires q/l+{, . . ., qh+s lies aux precedents par des relations differentielles leur servant de definitions, relations auxquelles ne correspond par suite aucune force de liaison. On les range avec les relations exprimant les liaisons non holonomes par contact, car elles interviendront de la meme maniere dans la mise en equations.
Nous avons ainsi p relations differentielles (p2s) de la forme
I Ai dqv -+- . . . -+- kh+jdqh+s ■+- A dt = o,
(2) (p relations) < Bj dqL -+-... -+- Bh+J dq,,+s + B dt = o,
Supposons des liaisons par asservissement representees par r relations finies ou difterentielles :
(3 ) (r relations
£i dq{-^-. . .-f- e/t+s dqh+g^r- £ dt
Enfin, les deplacements virtuels annulant le travail des forces de liaison de deuxieme espece sont ceux qui verifient les j relations
I «i Sgr-f- . . . -+■ ct'h-i-s Sq/i+s = o,
(4) (/relations) I 6153'1 + . . .-+- bh+^qh^s= o,
Gela pose, forraons l'expression
appelee energie dy acceleration. Si nous exprimons x", y", z" au moyen des parametres qi} . . qh de t et des derivees premieres et secondes des parametres q par rapport a t, nous avons vu que les termes P de l'equation de d'Alembert ont pour expressions
p - ^s . p, - dS ■
d'ou Tetablissement des equations du mouvement.
Cas od les equations dijjerentielles de liaisons par contact et de definitions (2) sont resolues par rapport a p variations dq. — Pour que les equations du mouvement apparaissent dans toute leur simplicite, il est utile de resoudre ces p equations (2) par rapport a p des h -+■ s = n -4- p variations dq ; on exprime ainsi, d'une part, les p derive'es q'n+l, . . ., q'n+p en fonction de q\, . . ., q'n par des relations de la forme
I <l'n+\ s= a 1 q\ ■+••••■+■ xnq'n-i-<x, (5) >
f = Tl ?! T R ?n 7 j
et, d'autre pari, les p deplacements virtuels oqn+p, . . ., oqn^.x en fonction de oqu. . ., oqn :
°qn+i = aio£i-+-. . .-+■ ctn$q>
( oqn+p = ^0}! + ...+ 7,1 o^„ ; les coefficients otf,..., 7/ sont des fonctions de yi, qn-¥p-> t. Bien
4 i 4 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
entendu, ces parametres qh qn peuvent ainsi bien etre ehoisis parmi les veritables eoordonnees que parmi Ies parametres auxiliaires qn+\i •• • ?
qn+s-
Gela pose, au lieu d'exprimer S en fonction des parametres q]} .... q/t et <le Ieurs derivees premieres et secondes, comme nous Tavons suppose au paragraphe precedent, il y a interet a utiliser les equations (6 I qui remplacent les equations (2) : en les derivant par rapport a t, on exprime les derivees secondes q"l+i, .••> q"n+p en fonction de q'[, . .., q"ri et des derivees premieres des parametres q ; on peut ainsi faire disparaitre de S les/) derivees secondes q'n+i, ...,q"n+p. S devient fonction de q±, qh+$i q\: . . ., q'/l+s et des n derivees secondes q'[, .... q"n. On sait que, dans ces conditions, le travail virtuel des forces d'inertie change de signe est
Si, d'autre part, on a exprime le travail virtuel des forces donnees au moyen de 8^1, . . ., %qn seulement en utilisant les relations (6), on obtient pour ce travail une expression de la forme
(8) Qi?qi + ...-+-Qn$qn.
Ces deux expressions doivent etre egales pour tout deplacement annulant le travail des forces de liaison de seconde espece, c'est-a-dire verifiant les j relations (4). Ici encore, il y a interet a tenir compte des relations (6). ce qui permet de faire disparaitre &qn+h fyn+p des equations (4); ces equations resolues par rapport a j des variations restantes 8^1, $qn s'ecrivent
1 oqy= 6ij+ioqj+.l-h . . .-h 6inoq/n
I oqj= J?/-l 1oy/+1 + . . .-h £n^qn-
Remplacant oqu . . ., oqj par ces valeurs dans les expressions (7) et (8) et exprimant leur egalite, quelles que soient les variations rcstees arbitraires Sq;+i, . . ., Bqn, on obtient les equations du mouvement sous la forme
Ces equations sont plus simples que les equations de Lagrange, qu'on ecrirait pour ce merae probleme (voir p. 408, equ. 12), car le nombre de termes de chacune des equations precedentes est j -+- 1, au lieu de m -+- 1 = p H-y -+- 1 dans le cas des equations de Lagrange. La complication introduite ainsi par la presence des coefficients 6i et j£ provient uniquement des relations qui
expriment que le travail ties forces de liaison de deuxieme espece est nul, et ne provient nullement des liaisons non holonomes.
Aux equations (10) il y a lieu d'adjoindre les p equations (5), et les r equations (3) exprimant les liaisons d'asservissement.
Cas ou les displacements qui annulent le travail virtuel des forces de liaison de deuxieme espece son/ dcjinis par j relations de la forme
(u) oq{ = o, . .., 8g7=o.
Les hypotheses etant celles du cas precedent, supposons que les condition^ qu'un deplacement doit remplir, |>our annuler le travail virtuel des forces de liaison de deuxieme espece, aient la forme simple (n). On pourra d'ailleurs toujours se placer dans ce cas en introduisant au besoin des parametres auxiliaires convenablement choisis.
Dans ce cas, qui est, en sorame, le cas general, si Ton conduit les calculs comme il vient d'etre dit, les equations (10) se simplifient et prennent la meme forme que dans le cas d'un systeme sans asservissement
(i2) ^r1 = Q/+js wr^n-
On voit que les equations du n° 465 donnent une solution generate de la question, sous une forme plus simple que les equations de Lagrange. Aces // — j equations, il y a lieu d'adjoindre les p equations (5) et les r equations (3) d'asservissement. Si r—j, le nombre d'equations est egal au nombre d'inconnues.
Application. — Un plan materiel P peut glisser par translation sur un plan fixe xOy horizontal. Sur ce plan, une sphere S de rayon R peut rouler sans glisser. Le mouvement du plan P est regie automatiquement de maniere que le centre de la sphere tourne uniformement autour de 0^ a la vitesse io par rapport aux axes fixes Ox, Oy, Oz. Etudier le mouvement au moyen des equations du n° 46o.
Soient u, v les coordonnees d'un point A marque sur le plan P par rapport aux axes Ox, Oy, Oz. La position de ce plan est definie par ces deux seuls parametres. La position de la sphere est definie par les coordonnees £, -<\ de son centre, et, par exemple, par les angles d'Euler 9, 0, <l> qui delinissent son orientation,
Si p, q, r sont les projections sur les axes de la rotation instantance de la sphere, les ronditions exprimant le roulement sans glissement s'obtiennent en ecrivant que Pelement materiel de la sphere et Pelement materiel du plan qui sont en coincidence a 1'instant t ont la meme vitesse :
Les liaisons d'as>ervissement sont au nombre de deux :
d\ -h 0)7) dl = o, dr{ — (<>: dt = o.
Le nombre de ces relations etant egal au nombre de parametres dont depend la position du plan P, on pourra resoudre la question en appliquant les Equations du n° 465 a la sphere S seule.
En tenant compte uniquements des liaisons holonomes par contact, la sphere sera considered comme dependant des sept parametres w, p, g, ri3 <p, 6, <b(h = 7); il y a interet a y joindre trois parametres auxiliaires (s = 3) lies aux precedents par les relations
(3 ) d\ = p dt, d\x = q dt, <h> = r dt.
Ces h -+- s = 10 parametres sont lies par ces trois relations et par les deux relations (1) qui expriment les liaisons non holonomes par contact.
Ces relations (1) peuvent s'ecrire
(1') <l\ — R d\i. = du, d<\ R d). = dv.
Les relations (3) et ( i') sont les p relations differentielles (p. 412, equ. 2) de la theorie generale (p = 5).
Sur les h -4- s = 10 parametres, nous conservons h -+- s — p = n = 5 parametres; nous choisissons u, v, r\, v; nous exprimons Fenergie d'acceleration S de la sphere en fonction des derivees secondes de ces n parametres, en utilisant les p = 5 relations (3) et (V). Or la valeur de S est definie par
2S = M(f2-HTi"2)-+- ^MR'-(/2+f-+^)
ou d'apres (3) et (Y),
2S = M ( l"- + t,"2 ) -f. I M [( p"— -/i" )2 + ( rc— u"Y -f- R2v»2].
Les deplacements virtuels annulant le travail des forces de liaison de deuxieme espece sont definis par les 7 = 2 conditions
(5) OM = O, OP = o,
puisque ces forces sont les reactions du plan sur la sphere. Ces conditions ont la forme indiquee au paragraphe precedent (equ. 11), de sorte que les equations du mouvement sont de la forme (equ. 12)
les seconds membres sont nuls, puisque les forces donnees (poids de la sphere) ont un travail nul, nous obtenons les equations
qui, jointes aux equations (2) d'asservissement, resolvent la question. Ces cinq equations s'integrent immediatement et montrent que le point A decrit une cycloi'de. Les formules (1') montrent que le vecteur de rotation instantanee reste parallele aux generatrices d'un cone oblique dont la base est un cercle horizontal decrit a la vitesse angulaire to.
