GP" OP'
et Ton peut poser
GP = a cos 9, OP = b sin 9.
Appelons, en outre, a Tangle xOY* que fait la perpendiculaire OP avec un axe fixe Ox; on a, pour les coordonnees polaires /• et 6 du point G,
(1) /,2= a-cos-o -+- ^-sin29, 6 = a — arc tang^ cot 9^.
On a alors
T= E(r'2-+-rse'2>-+- -A--a'2, 2 v 2
MA-- etant le moment d'inertie par rapport a G.
Remplagant r, r' et 0' par leurs valeurs tirees de (1), on a T exprime en 9, 9' et a'. Les forces appliquees ont un travail nul. On aura les deux integraies premieres
— = const., 1 = h.
da.'
L'elimination de a' fournit t par une quadrature en fonction de 9.
3. Mouvement d'une barre homogene pesante dont une extremite A glisse sur un plan horizontal xOy et l'autre B sur un axe vertical Oz. (Licence.)
Appelant 9 Tangle de la barre avec la verticale ascendante Os, 6 Tangle du plan AOB avec xOz, et il la longueur de la barre, on a
T= ^l(6'2sin29 + 9'-),
U = — gl cos 9.
On a les dcuv integraies premieres
-j, = const., I — L = h.
La quantite C0S9 est une fonction elliptique du temps.
APPBIX. — Traiti dr Met unique, n. 'JT
I. tJne tige homogene pcsante est attachee par unft extremite A a un point lixe 0 au moyen d'un lil de longueur OA = AB, tandis que l'autre extremite U glisse sans frottement sur l'horizontale Ox. Oscillations infiniment petites.
Soient 2/ la longueur de la barre, 8 Tangle du plan OAR avec le plan vertical menc par Oxy $ Tangle OBA. On a (en prenant la masse de la barre pour unite;
2T = ! J28'29in2p h- | j2(n-6sin2p) U = gl sin p cosO.
II existe une position d'equilibre stable correspondant a 0 = 0, £ = — ;
5. Mouvement d'un pendule simple de longueur variable; cas particulier ou t varie proportionnellement k t. (Lecornu, Acta mathematira, i8g5.)
6. Un tube rectiligne OA, infiniment mince, fait un angle constant 0 avec la verticale ascendant e Oz. Suivant quelle loi faut-il faire tourner le tube autour de I > c pour qu'un point materiel pesant m, glissant sans frottement dans le tube, puisse prendre, dans des conditions initiales convenables, un mouvement defini par l'equation
Om = *(l+ a)! (k et z constantes) ?
Soit 'j Tangle du plan .sOA avec un plan fixe supposons ^ donne en fonction
du temps <b = fit) et appelons p la distance Om. On a
t = ^[p'2-+-pWe/?(f)},
U = — m pg cosO,
d'oii, pour l'equation du mouvement,
p" — p sin2 9 f"-(t) -+- g cosO = 0.
La question est celle-ci : que doit etre f(t) pour que cette equation admette Tintegrale particuliere p == k( t -+- a)2 ? Exprimant que cette fonction verifie l'equation, on a
Si, en particulier, k =s—lg cosO, on trouve /( t ) = 0 ; le tube doit rester immobile.
G. bis. Un tube circulaire homogene de section infiniment petite peut tourner autour d'un de ses diametres qui est vertical et fixe. Dans Tinterieur peut se mouvoir, sans frottement, un point materiel pesant m. Trouver le mouvement du
systeme.
La position du systeme depend de deux variables. Frenons la position initiale du tube pour plan xOz et appelons o Tangle qu'au temps t le plan du cercle fait avec sa position initiale. Prenons pour axe 0 z le diametre fixe descendant, et soit 0 Tangle du rayon Om avec Oz.
R designant le rayon du tube, M sa masse, on a
2'T = MA2 9'2-h 7/iR5(6'a-t- ?'2sin26), U = m^Rcosf).
7. Deux points materiels m et m' s'attirent proportionnellement a la distance et sont assujettis a se mouvoir sur deux eirconferences de rayon a et a' situces dans un meme plan horizontal.
Oscillations infiniment petites autour d'une position d'equilibre stable. Etudier le mouvement lini dans le cas ou les deux eirconferences sont com entriques.
8. Aloiwemenl d'un point pesant M sur un cercle qui toume^ avec une vitesse angulaire constante <o, autour d'un axe vertical ST sitae dans son plan! — Prenons pour systeme de comparaison celui qui est forme par la verticale du centre zz' et l'horizontale xOx' rencontrant ST, le sens positif de Vaxe zz' etant celui du nadir,
Soient m la masse du point M. /• le rayon du cercle, a la distance OA du centre O a l'axe ST.
La position du pendule OM est determinee a chaque instant par Tangle 0 qu'il fait avec 0-2, cet angle etant suppose comptc positivement dans le sens direct, e'est a-dire de Oz vers Ox. Employons la methode de Gilbert, quoique la methode directe soit beaucoup plus simple.
Calcul de Tr. — C'est la force vive du systeme S, reduit ici au point M, dans son mouvement relatif par rapport a xOz, e'est-a-dire dans son mouvement de rotation autour de O,
Calcul de g. — L'axe inslantane de rotation du systeme xOz pour le point O est la droite zz'. Le moment d'inertie du point M par rapport a cet axe est
H = m/,2sin'-6.
Done, on ;i
Xti2 .
(3. — — m/,2sin-b.
Calcul de V. — L'axe representatif de la rotation instantanee etant dirige suivant Oz et celui du moment de la quantite de mouvement du point M dans son mouvement relatif par rapport a xOz etant perpendiculaire a ceplan^O^, ces
deux axes sont rectangulaires. Done, ici, coswer = o et V = o.
Calcul de U. — Les composantes de la seule force appliquee etant
X = o, Y = o, Z = mg,
on a
I = nig i' cos 6.
Calcul de K. — L'acceleration J du centre O tournant avec la vitesse angulaire m autour du point A est dirigee suivant OA, sa grandeur est u)ra. Done
K == mrui2 rtsin 0.
On a done
i to2 ;•' i
I = -/nr2V"-y //</,2sinJ0
et
