L -+- K = mgr cos -+- mru-a sin
L'equation du mouvement est done
dJ8 , o r # • , i»2a
-1— = to2 sin 8 cosO — — sinO h cosO.
dl- r r
On obtient les positions d'equilibre relatif en egalant a zero le second membre Ce dernier probleme a etc resolu geometriquement au n° 415.
9. Un corps solide pesant D est mobile autour d'un axe horizontal xOx'; l'axe xx' tourne lui-meme avec une vitesse angulaire constante w autour d'un axe vertical zOz' qui lc rencontre. Le centre de gravite G du corps est sur une perpendiculaire elevee en O a xOx'; on suppose que xx' et OG soient des axes principaux d'inertie du corps relatifs au point 0.
Trouver le mouvement du corps (en ne tenant pas compte de la rotation de la Terre).
Prenons comme systeme de comparaison le systeme rectangulaire 0 xyz tournant autour de Oz avec la vitesse donnee oj.
Appelons o la distance GO, 6 Tangle de OG avec la verticale descendante Oz'. Le mouvement apparent est une rotation de vitesse angulaire 8' autour de Ox- Nous avons done, en appliquant la methode de Gilbert,
T = - A8'2, q = - (B cos- 8 -+- C sin20), V = o. 2 fa
La quantite V est, en general weeoswa; actuellement le moment cinetique resultant 7 relatif est egal a A6' et dirige suivant Ox; oj est dirige
suivant 0^;; done costoci = o, et V est nul. La seule force, autre que les forces de liaisons, agissant reellement, est le poids; on a done
U = M go cosO.
Eiifin l'origine 0 etant fixe, K est nul. L'equation du mouvement est done
cl~ 0
A — , — C — B ) sin 6 cos 8 = — Mgo sin 8.
Cette equation peut ctre identifiee avec l'equation du mouvement d'un point pesant mobile sur un cercle qui tourne avec une vitesse angulaire constante w autour d'un diametre vertical fixe. (Exercice precedent) (Gilbert, Memoire sur I ''application de la methode de Lagrange au mouvement relatif.)
10. On peut ramener a des quadratures la recherche du mouvement d'un solide homogene de revolution mobile autour d'un point de son axe O^, toutes les fois que les forces appliquees derivent d'une fonction U qui depend uniquement de Tangle de Taxe Oz avec une direction fixe Ozv
En effet, prenons la direction fixe pour axe 0^,; on a U = /(8) et Ton voit en ecrivant les equations de Lagrange relatives a cp et <\> et Tintegrale des forces vives, qu'on est ramene a des quadratures.
11. On peut, de meme, ramener aux quadratures l'etude du mouvement d'un solide homogene de revolution glissant sur un plan fixe, toutes les fois que les forces appliquees derivent d'une fonction U dependant seulement de Tangle 8 que fait Tangle G; avec la normale G^, au plan.
12. Generalisation du theoreme de Bonnet (n° 247, fin de l'application ). voir Padova, Bulletin des Sciences mathematiques, p. 178; i885.)
13. Tautochronisnie dans les systemes. — Soit un systeme a liaisons indcpendantes du temps, sollicite par des forces connues ne dependant que de la position du systeme; appelons qv q2, qk les parametres independants qui servent a definir la position du systeme. Le probleme a resoudre est le suivant :
Quelles nouvelles liaisons, au nombre de k — 1 fautil imposer au systeme pour que le systeme d liaisons completes ainsi obtenu soit tautochrone, e'estd-dire mette le me/ne temps d revenir d une position determinee quelle que soit la position initiate dans laquelle on Vabandonne a lui-meme sans vitesse ?
Beponse. — On a
ij
V ( X ox -+- Y By -+- Z 85) — 0, o^-1-...-t- Qt oq,..
[ntroduisons de nouvelles liaisons rendant le systeme a liaisons completes et tautochrone : on peut toujours supposer alors qn q2, . . . , qk exprimes en fonction d'un parametre q; l'equation unique du mouvement du nouveau systeme est donnee par l'equation des forces vives
dT — Oj dqx-\-. . .-+- Qkdqk.
Prenons a la place de q une nouvelle variable s definie par
(2) y ^a,ijdqidqi= ds, Alors
T= '-s'\ Q^^ + .-.+ Oj.^- f(s) ds, et l'equation (1) devient
Pour que cette equation delinisse un mouvement tautochrone, il faut et il suffit I n 213) que /(si soit de la forme — [x-s, oil u.2 est une constante positive. On doit done avoir
(3 ) Q, tf&H- Q2 dq.,-h. . .-+- Ok dqk = — u.2s ds.
Reciproquement, si Ton a trouve des fonctions qv q2, qk de s verifiant les deux relations (2) et (3), le systeme devient un systeme a liaisons completes dont la position depend du seul parametre 5 et ce systeme est tautochrone.
Comme on n'a que deux relations pour determiner qv, qz, qk en fonctions de s, on peut se donner arbitrairement k — 2 relations compatibles entre qv 72, . .., qk et s.
On peut par exemple determiner le probleme en assujettissant le systeme a fttre tautochrone non sculement pour les forces donnees, mais encore pour k — 2
autres systemes de forces X ' , ^ . /' ne dependant que la position. (Appell,
( omptea rendus, t. CXIV, i8j:>, p. 996.)
