Interpretation ties valeurs ima ginaires da temps
li'tant donne an systeme de points materiels assujettis d des liaisons independantes da temps et soumis a des forces qai ne dependent que des positions des differcnts points, Les integrates des equations cliff erentielles du mouvement de ce systeme reslent reelles si Von y remplace t par t \ — 1 et les projectioas fip, yp de la vitesse de chacun des points mp par — — r, — $p\ /t-*i —'{/.i' — 1- Ves expressions ainsi obtenues sont les equations du nouveau mouvement que prendraient les mernes points materiels si, place's dans les merries conditions initiates, its etaient sollicites par des forces respectivement egales et opposees a celles qui produisaient le premier mouvement .
Demonstration. — On peut employer les equations aux inultiplicateui - de Lagrange, et y changer / en / \ — 1 : on remarque alors immediatement que cela revient a changer de signe les projections des forces appliquees et a modifier les multiplicateurs.
On peut egalement se servir des equations de Lagrange
dt\dq'J f)qrj
T est alors une fonction homogene el du second degre de q\, q'^, .... q%, et Ton voit immediatement que changer t en t sj — 1 revient a changer Qa et — Orj. e'est-a-dire a changer le sens des forces appliquees (Appell, Comptes rendusi t. LXXXVII, 1878, p. 1074 ).
15. Application des equations generates du n° 465 d un corps solide qui se meat parallelement a un plan fixe. — Prenons comme plan de la figure le plan de la courbe decrite par le centre de gravite. Soient, dans ce plan, deux axefixes Ox et Oy, c et r\ les coordonnees de G. II suffit evidemment de connaitrr le mouvement de la figure plane (P), section du corps par le plan xOy. Appelons alors 6 Tangle que fait avec Ox un rayon GA invariablement lie a cette figure plane (P), et M/c2 le moment d'inertie du corps par rapport a L'axe menc par G perpendiculairement au plan xOy.
Le mouvement du corps autour du centre de gravite G est une rotation autour d'un axe fixe dans le corps, la vitesse angulaire de rotation etant 6'. On a done, pour la fonction S, calculee dans le mouvement du corps autour de G,
Done
ou il est inutile d'ecrire les termes ne contenant pas les derivees secondes.
D'autre part, si Ton appelle X0, Y, les projections de la resultante generale des forces appliquees. et N0 la somme des moments de ces forces par rapport a l'axe mene par G perpendiculairement au plan xOy. on a
2] (X 8a? -h Y -h Z 8-s) = X08£ -4- Y0 Sr.-f- N0 66.
Le corps n'etant suppose soumis a aucune autre liaison, les parametres c, t,, 0 sont independants et les equations du mouvement sont
<>n retrouve ainsi les equations que donnent immediatement les theoremes generaux
16. Calcul de Venergie d' acceleration S pour un corps solide mobile autour d'un point fixe O. — Rapportons le mouvement du corps a un triedre trirec-
tangle Oi/;, d'origine O, anime d'un mouvement connu. Soient il la rotation intantanee de ce triedre, P, O, R les composantes de cette rotation suivant les
axes Ox, <>j\ 0-;; soient de meme w la rotation instantanee absolue du corps solide, p. 7, /• ses composantes suivant les axes Oxyz.
Nous avons trouve (n° 466), pour les projections J r, J , J. de l'acceleration du point m . des expressions de la forme
}jc = — x(q-^r- r2) -hf[q(jp — P) -f-/>Q — /•'] -+- z\ rip — P) -h pR -+- q' \.
On a, de meme, en permulant. J . J.. Faisant la somme des caries, on a J2, et enfin la fonction
S = \ "*(Jar+ J|-H- JJ).
Dans cette somme (igurent comme coefficients les moments d'inertie
A m(y-~ z- ), R = V mf;--L ./•'- ), C = JT m (.r--h^- ).'
et les prod u its d'inertie
D = V myz, E ~V cr- ^ ~ V m-^r-
par rapport aux axes Oxyz. Ces six quantites seront, en general, variables avec le temps, puisque les axes Oxyz se deplacent dans le corps.
Actuellement, les parametres sont les angles qui fixent l'orientation du corps autour du point O : les quantites />, q, r contiennent les derivees premieres de ces parametres par rapport au temps; le triedre Oxyz etant suppose anime d'un mouvement connu, P, Q, R doivent etre regardees comme des fonctions connues du temps; les derivees secondes des parametres ne figurent done que dans p\ 7 , /■ . Alors, d'apres une remarque generale, il suffit de calculer les termes de S qui dependent des accelerations, e'est-a-dire de p', q' , r', car ces termes seuls dependent des derivees secondes des parametres.
Posons. pour a brewer.
rP — /'R QtJ pQ — qP - R
et desigaons, pour un moment, par a, b, c les sommes ^ ma:*, ^ //' r . V* mz1 * »n peut errire
2S = a[(g'— Qj— j?r)2-+- — R,^/^)-] -+- 6 [( r' — R, — qp )--+-( p' — P, ■+- <?r )! ]
-+- c [(/>'— P,— rqy-h(t/— Qt-hrp?\
— 2D[(q"-—rz)p'^(q'—qi-hpr)(r—Hl — pfj)]
— 2 E [ ( /'2 — pl)q'-+- ( '" — R, -+- 7/? j (// — P, — -2F[(/-7-)r'+( p — P, -h /v/ ) f y' — Q, - /•/> ) 1 -h . . . .
Developpons et ordonnons par rapport a //— P,, q' — Ov r' — Rv en remar- <[uant que
6 + c = A, c + a = B, a ft == C,
nous pouvons ecrire, en laissant de cdtc des termes indcpendants de /> . >/ . r'.
I 2S = MP'— p.)2^ B(y — QJ2-^ C(/-'— Rtj'J
) -2F(/?'-PI)(r/-Q1)
1 4-2[(C— B)qr — D(02— ,•=) — E/>0 -+- F /?/• ](/?' — PJ
I — 2 [ ( A — C ) /y> — E ( /■•- — p2 ) — E qr — D <//>]( y' — Q, )
+ 2{(B - A)/^- F(p-—q-) — Drp-h Erq](f - R<)-K...
Remarque. — Si les axes Oar> -z sont fixes dans Cespace, on a
par suite
Si les axes sont fixes dans le corps, on a
d'oii encore
(Appell, Journal de Jordan, 1900.)
IT. Quel est dans un solide en mouvement, le lieu des points A possedant la piopriete suivante :
Venergie d 'acceleration absolue S du corps est egale a Venergie d acceleration de la masse totale concentree en A, augmentee de Venergie ^acceleration calculee dans le mouvement relatif du corps autour du point A.
(A. de Saint-Germain, Comptes rendus, 1901.)
18. Roulement d'un disque circulaire sur une surface donnee sous 1' action de forces donnees.
( Woronetz, Matke/natische Annalen, t. LXVII, 1909.)
