Representation g-eometrique des deux theoremes. — Les
deux theoremes que nous venons de demontrer sont susceptibles d'une representation g^ometrique tres simple.
Menons par chacun des points M du systeme le vecteur qui
represente la quantity de mouvement mV de ce point. Tous ces
vecleurs rnY ont une resultante gen^rale O p ^quipollente au vecteur
et un moment resultant 0(7, par rapport a Porigine O, ayant pour projections (Jig- i 85 )
A* V dt dt
/ dx dz \
V1 / dy dx\
■ 2, "'(•'',/, y-si)
Ce vecteur Oct est equipollent a
Prenons maintenant les forces exterieures : leur resultante g£ne>ale OR a pour projections
X = ssx,
1SY,, Z == £SZ,
et leur moment resultant OS, par rapport a O a pour projections
(S) Z2(yZe-zYe), ^(z\c-joZe\ ^(zYc-yXc).
Fig. i85.
Le theoreme des quantity de mouvemement donne alors
— > m — = OR ou — p^- = OR d ^ dt dt
et le theoreme des moments des quantites de mouvement
d v -£ . t/M rfut -->
^ ^mOM A — tt = OS — — = OS-
dt
dt
Ces equations expriment que les vitesses des points geometriques p a sont, a chaque instant respectivement equipollents
aux vecteurs ( )R ( )S.
Les vecteurs Op et ()c sont nppeles rospectivement resultanU crnrtique et moment cinet/que du systeme.
331. Cas particulier ou le moment resultant des forces exterieures est nul par rapport au point (). Plan du maximum des
aires. — Dans ce cas, lo vecteur OS est nul. Le point ct est fixe el les quantites /., p., v sont constantes, quelle que soit l'orientation des axes fixes aulour du point O. Le principe des aires s'appliquc alors a la projection du mouvement sur un plan quelconque P passant par O. Pour voir quelle est la constante des aires sur ce plan, prenons-le pour plan des xy : nous aurons
= v = const.
La constante v est la projection du vecteur fixe Oct sur l'axe des z, c'est-a-dire sur la norrnale au plan P. Ainsi la constante des
aires, sur un plan passant par (), est la projection de Oct sur la norrnale au plan. De la resulte que, parmi tous les plans passant par O, celui pour lequel la constante des aires est la plus grande est le plan perpendiculaire a Oct; on I'appelle plan du maximum des aires. La constante des aires est d'ailleurs nulle pour tout plan passant par Oct.
3352. Somme des moments des quantites de mouvement des points d'un corps solide tournant autour d'un axe, par rapport a cet axe. — Gonsiderons un corps solide tournant autour de l'axe ()z avec une vitesse angulaireoo. Soit r et 6 les coordonnees polaires de la projection d'un point y, z) du corps sur le
plan des xy ; on a
/ dy dx \ „ d§
in x y -— ) = mr- — = mr- to.
\ dt J dt J dt
Done, en appelant MA:2 le moment d'inertie du corps par rapport a Faxe de rotation, on a, pour la somme des moments des quantites de mouvement de tous les points du corps par rapport
a l'axe,
1 mr- to = M A'2 co.
e'est-a-dire le moment d'inertie multiplie par la vitesse angulaire.
333. Exemples. — i" Les extre'mites d'une droite materielle homogem; AB de masse m et de longueur na peuvent glisser sans frottement sur une circpnference liorizontale de rayon R. Un insecte de meme masse m se trouve pose au milieu de la droite supposee immobile. A l'instant t = o, Tinsecte se met a marcher le long.de la droite AB, de C vers B, en parcourant des longueurs egales de cette droite en des temps egaux. Trouver le mouvement du systeniej; calculer Tangle dont la droite a tourne a partir de sa position initiale quand Tinsecte est arrive a Textremite B.
< >u appellera 6 Tangle que fait avec un axe fixe le rayon vecteur joignant
fa
le centre 0 an milieu G de la droite, r la distance CM de Tinsecte M au point C3 /• = vt (v constante). (Licence, juillet 1891.)
Les forces exterieures agissant sur le systeme forme par la droite et Tinsecte sont : i° la pesanteur; 20 les reactions normales de la circonference sur les extremites A et B de la barre. Toutes ces forces ont leurs moments nuls par rapport a la verticale O ; du point O, car les poids sont paralleles a Oz et les reactions normales sont dans les plans normaux a la circonference aux points A et B, plans qui contiennent Oz. La somme des moments des quantites de mouvement par rapport a Oz est done constante, et, comme elle est d'abord nulle, puisque Tinsecte et la barre partent du repos, elle reste constamment nulle. Galculons cette somme ; elle se compose :
a. l>e la somme des moments des quanlitesde mouvement des diiferents points de la droite par rapport a. : comme la droite est un corps solide
tournant autour de Oz avec tine Vitesse angulaire ^-3 cette somme est
mA* ^3 mk1 designant le moment d'inertie de la barre par rapport a Qz\
I). Du moment de la quantity de mouvement de Tinsecte M; comme les
^ v dx coordonnffes polaires de M sont p et x = xOM, ce moment est mp "j\
I hi ;i done
, fib „ <afo dt ' rf/
( >r le triangle rectangle COM donne immediatement
vt
v^tK be = 8 + arc tang
Substituant dans ('equation precedente et reduisant, on a
c/8 v v'K2— tt-
dt k- -+- K-— «2-h r-£2
° -\/rai^barctang
Jfc + R2 «2
80 designant la valeur de 6 a l'instant £ = o. Les autres equations ecrites plus haut donnent alors p et a en fonction de /. Quand l'insecte est arrive en B, on a vt = a; on en deduit la valeur demandee de 8 — 80.
Determinons exatement k2. Le moment d'inertie de la droite AB par rapport a son centre de gravite C est, en appelant \x la densite lineaire (masse de Funite de longueur ) et r la distance d'un element dr au centre,
j ixr-dr — — ^ — = m
2 u. a3 ti-
le moment d'inertie mk- par rapport a Faxe Oc ou au point O est done (n° 317)
done
2 aJ
Si, a un moment quelconque, l'insecte s'arrete sur la droite, le systeme tout entier devient immobile, car, s'il ne le devenait pas, la somme des moments des quantites de mouvement ne serait pas nulle.
2° Une feuille de papier est posee a plat sur un plan horizontal parfailement poli sur lequel elle peut glisser sans frottement : un point 0 de cette feuille est fixe, de telle facon que la feuille ne pent que tourner autour de O en restant sur le plan; e'est ce qui arriverait, par exemple, si la feuille etait traversee par une epingle piquee en 0 dans le plan horizontal; enfin sur la feuille de papier est tracee une circonference de rayon a passant par O {fig. 187, 1 et II).
Le papier etant immobile, un insecte est pose sans vitesse sur cette circonference au point A, diametralement oppose a 0. A l'instant t = o.
I'insecte se met a marcher sur le papier en suivant la circonference avec une vitesse v constante par rapport, an papier. Tronver le mouvement du systeme. ( Roin h, Rigid dynamics.)
Nous prendrons dans le plan, comme axes fixes, I'axe Ox coincidant avec la position initiate de OA (position I) et nn axe Oy perpendiculaire. Les forces exterieures appliquees au systeme (papier et insecte) sont les poids, les reactions norraales du plan, les reactions de l'epingle O sur le papier. Toutes ces forces ont leurs moments nuls par rapport a un axe O: perpendiculaire en 0 au plan xOr. Done la somme des moments des quantites de mouvement par rapport a Oz est constante; le theoreme des
Fiff.
aires s'applique au mouvement du systeme sur le |)lan xOy, et, comme le systeme part du repos, la constante des aires est nulle. On a ainsi
7 mr- — = o.
jLl dt
L'insecte tournant dans un sens autour de O, le papier devra tourner en sens contraire. Calculons la somme des moments des quantites de mouvements. A Tinstant t {fig. 187, II), l'insecte est en M; appelons r et 0 ses coordonnees polaires, 0 etant suppose positif. Au meme instant, le diametre issu de O a pris la position OA' faisant avec Ox un angle negatif que nou> appellerons — a, de sorte que a designe la valeur absolue de ['angle xOh!. Le moment de la quantite de mouvement de l'insecte
est mr* la somme des moments des quantites de mouvement des
divers points d 11 papier est
I ^ « I designant le moment d'inertie du
\i 1 ' ;V da. '
j)apier par rapport a O z: car la vitesse angulaire du papier est — -^-« < )n
a done ['equation
df) t d%
( 1 ) mr- —. — I — =0.
dt dt
II faut exprimer que Tare de circonference A'M parcouru par l'insecte est <:gal a vt : on a ainsi, puisque A'OM = 0 -t- z.
en posant pour abreger X = — • D'autre part, le triangle rectangle A '« >M donne
( 3 ) r = j.a cos (8 -t- a) = 2 a cos X Remplacant, dans ( 1 ), r par cette valeur et a par X< — 0, on a
