E , OT OT OT

(2) P%=W P*^Wk

Ces /'((nations elant Iineaires par rapport ay',, . . . , q'k peuvent Stre resolues, et donnent pour ces quantites, des expressions

4'i6 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.

lineaires en pt, p/{. Voyons ce que deviennent les Equa-

tions (i) quand on fait ce changemenl de variables.

L;ussons la variable t constanle et donnons aux variables q el p des accroissemenls infiniment pelits, arbitraires, independanls dq <'t op; il en resulte pour les q' des accroissemenls dq' dEfinis par les relations (2) supposees resolues par rapport aux q'.

La fonction T, qui depend des variables 7 et 7', subit alors une variation

.... V dT - V <fV - 011, en vertu des equations (2),

ce (|u'on peut ecrire en posant K = 1p~,q[, — T,

On a ainsi une premiere expressionde la dillerentielle totaleoK. Supposons d'autre part K exprime au moyen du nouveau systeme de variables qy, pv. Quand, t restant constant, ces variables subissent des variations arbitraires 07,, et dp,,, on a

dK R XT' <Jk .

Getle nouvelle expression de dK doit etre identique a la precedent, quels que soient les dq el les dp; on a done

Dans ces Equations, les derivees parlielles de T sont prises en supposant T exprime a l'aide des q et q', et celles de K en supposant K exprime a l'aide des q et des p. D'apres ces relations (3), les equations (1) de Lagrange prennent la forme

Ges equations du premier ordre determineronl les \ariables /?,, • • , Pk, 71, • • • , 7a on fonction du temps.