CHAP1TRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

Dans tout ce qui suit nous supposerons que les coinposantes suivant les axes des forces appliquees, autres que les forces de liaison, soient les deriv^es parlielles, par rapport aux coordonnees, d'une fonction U des coordonnees et du temps; cette condition sera realisee, en particulier, si les forces appliquees d^rivent d'une fonction de forces, mais alors U ne contiendra que les coordonnees et non le temps.

Dans cette hypothese, comme les coordonnees des diffe'renls points du systeme sontdes fonctions des parametres q±, q<2, . . . , q/, et peut-elre du temps, U est une fonction de qi, q2l • qi^ t ne contenant pns les variables pv, de sorte que les derivees par-

lielles 4— sont nulles: on a de plus Qv = • Posons alors

dp,, 1 x' dqy

nous avons

<Jk m dK - dE dp,, dp? dq,, dq^

et les equations (4) deviennent

(C dq^ = dU dp, = dE . .

* ; ' , dt dpS dt dqv ^ T' 2' '*''

Ge sont la les equations canoniques du mouvement donnees par Hamilton; elles forment un systeme de ik equations du premier ordre, definissant qit q2, ^ et pi, p2, ...,/?/• en fonction du temps et de 2k constantes arbitraires.

Cos particulier ou Les liaisons sont indepentantes du temps. — Si les liaisons imposees au systeme sont independantes du temps, on peut toujours choisir comme parametres cy2, . . . , qi; des quantites telles que les expressions des coordonnees des differents points du systeme en fonction de ces parametres, ne contiennent pas explicitement t. Alors T est une fonction homogene et du second degre des <( (n° 445), et, d'apres le th^oreme des

lonctions homo£(;nes, on a

car p., est ^gal a — r • Dans ce cas la fonction K devient

K = s jOv'/v — T = 2 T — T = Tj

et Ton a

Dans ce cas, les calculs qu'il faut faire pour passer de la forme quadratiqtie T exprim^e en q\, . .., q'k a la forme T exprim^e en ...,/?/, sont identiques a ceux que I on fait pour passer d'une forme quadratique a la forme adjointe.

Cas oil les liaisons etant independantes du temps, il e.iistr une fonction des forces; integrale des forces vives. Aux hypotheses faites dans le numcro pre'ee'dent, ajoutons la supposition qu'il existe une fonction des forces, e'est-a-dire que U depende des coordonn6*es des diffe'rents points et non du temps. Alors, comme les expressions des coordonn^es en fonction des q sont

suppos6es ne pas contenir U devient une fonction de q2

qii} ne contenant pas t. Dans ce cas, le the'oreme des forces vives conduit a l'integrale

T — U = /i on 11 = //.

G'est ce qu'il est facile de d^duire des equations canoniques. En effet, actuellement, la fonction H = T — U ne contient pas explicitement t; etle s'exprime uniquement a l'aide des variables q.t et /?v. Pendant le mouvement, ces variables qv et p., sont des fonctions du temps, H devient par leur intermediate, une fonction du temps, et 1'on a

777 ~~ \dql dt ~ ~&plt lit

mais, d'apres les Equations canoniques, chaque terme de la somme du second membre est nul. Done, pendant le mouvement. on a

dt . ' '

Remarque. — Si H contenait explicitement t, on aurait