II. - THEORflME DE JACOBI ET APPLICATIONS

172. Theoreme de Jacobi. — Le theoreme de Jacobi s'applique a des equations de la forme canonique, dans lesquelles H est une fonction quelconque des variables qnp, et t. Nous ecrirons cette fonction

HOi3 Pi, ..'ip*; fa q-i, • • •, gk, t),

'en mettant les variables en Evidence. Le theoreme repose sur cette remarque que les Equations canoniques sont les equations des caracleristiques d'une certaine Equation aux de>ivees partielles du premier ordre : il ramene l'int^gration des equations canoniques a la recherche d'une integrale complete de cette equation. Voici comment on peut £noncer le theoreme :

Soit V equation aux derivees partielles du premier ordre

r)\ • / d\ dY <N \

(J ) ~ji ■+■ H I - — 1 - — j - - • 1 - — ; qu q2, q&, t ) = 0

dt \dqx dq, dqk J

qui dejinil V en fonction des variables q{, q2l .... t, regardees comme independantes . Si Von connait une integrale complete

de <ette equation avec h constantes arbitral res a*, a->. • • . a/;

1 lo DYNAMIQUE DES SYSTEMES.

doni ariaine nest une constante additive, les equations finies

du mouvement, e'est-a-dire les integrates ginirales des Equations canonique, sont

r)\ <)\ dV

<)q\ <)(/* <)qk

avec 2

/: constantes arbitr aires a,, «.,. .... a#; /y2. 6/

Nous avons, dans le n" 297, demontre ce theoreme dans l'liypothese que le nombre des variables q est 3, (£ = 3). La meme demonstration s'applique identiquement au cas general oii k est un entier quelconque. II est inutile de revenir sur cette demonstration. Le theoreme general doit done etre regarde comme demontre : les equations (J4) donnent ql, q,, qh en fonction du temps et des 2k constantes av et 6V; ces expressions definissent le mouvement du systeme; les equations (J2) donnent ensuite les variables auxiliaires pv.

i73. Cas particulier ou t ne figure pas dans les coefficients de l'equation de Jacobi. — Lorsque t ne figure pas dans les coefficients de l'equation (J), on peut verifier cette equation par une fonction de la forme

V=— to-h\V.

h designant une constante, et W une fonction de ry,, q2, qk independante de t. En substituant cette expression de V dans ['equation (J), on a, pour determiner W, l'equation

II suffira de trouver une integrale complete de cette equation (J')

W(gr,, q.2. . q'K'y au a*, . . ., ak—\, h) -h const.,

contenant, outre h, (A— 1) constantes av, a2, i dont

aucune n'est additive. On aura alors, en prenant

V = — ht W(r/,, gr,, , a*,, A),