CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES. jjl

une integrale complete de l'equation de jacobi avec les k constantes #1? a2? a/,— 1, h, dont la derniere remplace «/,. Les

equations finies du mouveinent (J,) et (J2) deviennent alors, en designant la constante b/: par — /„,

rfW <W <)\X

Les (A — i) premieres equations (}\) ne contenant pas t definissent la suite des configurations geometriques par lesquelles passe le systeme pendant lemouvement; la derniere 6quation (J\) donne le temps t que met le systeme a atteindre une de ces configurations.

Le cas que nous venons de traiter se presente en particulier quand les liaisons etant independantes du temps, les expressions des coordonnees des points du systeme en fonction des qv ne contiennent pas t, et quand les forces derivent d'une fonction de forces U(<7i, . . . , q^). Alors H = T — U ne contient pas t explicitement. Dans ce cas, la constante h est la constante des forces

devient

vives, car l'equation (J'), dans laquelle on remplace - — par p.n

H(/?i, p* pk ; qu q-i, • • • , qk) — h ou T — U = h :

c'est l'integrale des forces vives.

Remarque. — Le procede que nous venons d'employer pour simplifier la recherche d'une integrale complete, quand tne figure pas dans les coefficients de l'equation de Jacobi, s'applique de meme au cas ou toute autre variable qL par exemple, ne figurerait pas dans cette equation. On essayerait alors de verifier l'equation en posant

V = «,£i-h ?(?25 q>,- • • - ; qk, Oj

y ne dependant plus de qt et at designant une constante, et Ton serait ramene a trouver une integrale complete d'une equation avec une variable independante de moins.

£14. Exemples : i" Application au mouvement de la toupie sur un plan horizontal. — Cc probleme a ete traite directement n° -407 comrne evemple du mouvement d'un corps homogene pesant de revolution, glissant sur un plan horizontal. En adoptant les notations des n,)S 407 et 408. nous voyons que la position du systeme depend de cinq para metres |, rn z. >b, 0 qui jouent les roles dc ql} q%, q^, q>n q-0. Le £ du centre de gravite est lie a 0 par la relation C = ^cos0. Pour abre'ger l'ecriture, nous supposerons qu'on ait pris la masse de La toupie pour unite (M = i). La demiforce vive est alors

T = -[ £'2 -h -o'2 -h l°- sin2 GO;2 -+- A(/>2 + q- )-H Gr2],

T = '0'--+- {I'1 sin2 6 -h A) 0'2-t- A sin2 0d/2-h C(<P'^ ty' cos ft)2 J.

D'autre part, la fonction des force est

Les variables /?v sont definies par les equations pv = -j—r qui sont ici

Pi =

G(o'+ <l/cos0),

A sin2 06'-+- C cos0(<p'-+- -V cos 0), (Z2sin20 + A)D'.

11 faut resoudre ces equations par rapport a V, 0', o', d/. On a immediatement

# 9 -h o cos 0 = ^

, />i — jP3cosQ A sin2 6