CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES
On pourrait alors ecrire les equations canoniques
dt\ OH ?V di = df>=Pl>
2* (p,-p, cosQ)
G A sin-l)
dU
~ dp, ~
do
(it
dU
dt
di)
dll
dt
~ dp, T
dpi
~di
dps
dH
dps
dH
eos0
A sin-0
go
/- siii^J -+- A
pU15
dt ~~~ dt\ dph dH
ou nous n avons pas ecnt explicitement la derivee -^p Ces equations canoniques (3) et (4) dcfinissent £, tj, 9 6, 0, piy p>, p:], p%, p., en fonction de t. Le premier groupe est evidemment identique aux equations (1). Le deuxieme groupe donne i m mediate men t les integrales premieres
p{ = au p.2 == a2)
d'ou, en portant ces valeurs dans les equations (i) ou (3),
i aj, t\ — a*, G( o -+- d/ cos 0 ) = a?„ (5) < •
/ A sin- 0 -l +G cos 0 ( 9 -+- d» cos ()) = «..
Ces quatre integrales premieres sont celles que nous avons trouve'es directement (n° -407) par l'application des theoremes generaux. Les deux premiere- expriment que la projection horizoniale du centre de gravite est animee d'un mouvement rectiligne uniforme; la troisieme que la composante r de la rotation instantane'e est constante; la derniere que, dans le mouvement autour du centre de gravite, la somme des moments des quantites de mouvement par rapport a la verticale G^, est constante. En adjoignant .1 ces integrales (5) I'integrale des forces vjves
T — U = // ou 11 = //.
on obtient toutes les equations trouvees directement. APPILL. — Traiti de Mecanique, 11.
A.ppliquons maintenant le theoreme de Jacob! : nous allons relroun les memes integrales. L'equation aux derivees partielles est
\ dt 2 I V ^ / \ + /2 sin20 + A\ ^67
j i /<JV'v i /^v rfV .yn , t
\ G \ r)y J A sin- 0 \ ()<l> /J
Gomme elle ne contient explicitement dans les coeflicienls aucune dies variables r,, cp, ^, on pourra trouver une integrate de la forme
V = — ht -h aA \ ■+- a« 7j -h «3 5 + fll,!/ + F(i ), ou A, «i, a2, «3, «4 sont des constantes .et F (6) une fonction de 0 seul. En substituant cette valeur de V dans (6), et remarquant que est egal a F'(0), on a, pour determiner F'(0), l'equation
F'2(6) = (/2 sin2 6 -h A ) I 2rh — 2^/cosO
ft t — a ;
( aK — : «a cos 0 )2 .
G A sin 2 0 On a done, en integrant,
F(0) = y v '/-sin-0 -+- A ^0,
ou I on a pose, pour abreger,
8 = ih — 2Wcos0 — a? — a\ — — — r— -— r ( a4— <v3 cos 0 )-.
G A sin2 0 '
On a ainsi l'integrale complete
V = — ht + ffl^+ a2iQ -+- «:! c -i- rt4 <b -hj" v /2 sin20 + A yds c/b,
avec cinq constantes h, au #2, «3, a^, dont aucune n'est additive. Les equations du mouvement sous formes finie sont alors
On a done, puisque 0 depend de h , a\, «2, «3> #4, en differential sous le signe .
(* sin2 0 -+- A r
/* v^' sin20 + A [ «3 cos 6 . J ,
| 2 — / a a Cos 0 ) r/e = 0:
7 y/e I C A sin20^ 'J
\J I'1 sin20 A ( aK — a3 cos
r \Jl- sin20 -+- A {aK — <7:]cos0) J " Asin20
/* V^2 sin20 -+- A „
