CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

Lea quatre premieres equations definissent la suite des positions de la toupie; la derniere donne Ie temps. En remplacant la derniere integrale par / — to dans les deux premieres equations, on les met sous la forme

£—-&!== «t'(* — *o), f\ — bi = a^(t — /„).

On retrouve ainsi ce re'sultat que la projection horizontale du centre de gravite se meut d'un mouvemens rectiligne uniforme.

Enfin, si l'on veut les expressions sous forme finie des variables /),, p»,

ps, p.. p.- il faut ecrire p., — j~~> ce CIU' donnc

p5 : v//2 sin -2 0 -+- A

2° Exemple dans lequel les liaisons dependent du temps. — Appliq nous cette methode au probleme du n° 455.

Mouvement dhine barre homogene pesante mobile sans frottement dans un plan qui tourne, avec une vitesse angulaire constante w. au tour d'une verticale fixe du plan.

La position du systeme depend des trois parametre £, 0 qui joueront le role de q\, q-i, q...

Supposons la masse M prise pour unite; on a, comme nous Tavons trouve, les expressions suivantes de la demi-force vive absolue et de la function des forces :

T = -{q--h V" ■+• ^ 6'2 + *2 COS2 0 4- OJ2 £2 ),

11 faut poser

dT JT <)T

pi=d?> p2=o\r IH=w'

ce qui donne

Pi = /*s = V, /?3=£20';

equations qui sont immediatement re'solues par rapport a r{, 0'. On doit faire ensuite

ce qui donne, en remplacant r,', 0' par leurs valeurs et reduisant, K = - (j>l -h pi -h ^ — co2 /c2 cos2 0 — cd? tsj . Entin la fonction H = K — U a pour expression

II = * ^/>2 ■+- pi -h ~j — o)2/:2cos20 — toa(j2J — ^ Tj.

Les equations canoniques seraient alors aisees a ecrire; on verifiera qu'elles sont identiques a celles du n" 435.

Appliquons la methode de Jacobi. L'equation aux derivees partielle^ eH

En 1'ecrivant

on apercoit une integrale premiere de la forme

V = - hi -f- Fi(|)-h F2(t)) + Fo(0),

les fonctions F13 F2, F3 des variables H, 'i, 0 verifiant identiquement l'equation

^ F'22 ( 6 ) — (o2 A:2 eo?2 0 J = o.

(lomme, dans l'equation aux derivees partielles, les variables c, 6 sont regardees comme independantes, cette relation ne peut avoir lieu que si chacune des quantites entre crochets est separement constante. II faudra done prendre

?m)-»H*^V"i, F'|(r,) — <igr, = 2«2; d'ou, en substituant,

J~ F':f ( 6 ) — to2 k2 cos- 6 = 2 h — 2 a i — 'iiu.

Ges equations donnent Fl3 F2, F3 par des quadratures, et Ton a 1'integralc complete

A- ^ v/w2 #2 cos2 0 -4- 2 /j — lax — 2 a, rf6,

avec les trois constantes al5 a2, A dont aucune n'est additive. Les equations du mouvement sous forme finie sont alors

— = bu — = b-2 fJcii da*