CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES
et
ce qui donne, en designant par 6 la quantite to'- /c2cos- 0 -+- ?.h — 201 — i<t\
J \/lgt\ ■+- 20o • V'^
. r um
C ^es equations donnent c, t], 6 en fonction de t et de six constantes <z1? //o, A, 61, 62, *6« On peut ecrire les deux premieres, en tenant compte de la troisieme,
f. di =i-t.+b,! (- =t-lt+bt,
J V W- 12 J \/1g T, +2fl5
d'ou Ton tire pour ; et r, des expressions identiques a celles que nous avons trouvees (n° 455).
Les valeurs de piy />2, p?, sont enfin
Pi = ^ = V to-c-+ 2«,, />2 = — = sjig-i\ -+- 2ax.
475. Theoreme de Liouville. — Liouville a indique un cas tres etendu oil les equations du mouvement s'integrent par des quadratures. Considerons un systeme sans frotlement dont les liaisons sont independantes du temps et dont la force vive s'exprime en fonction des parametres qx, fji. . . . , qk sous la forme
2T = (A,+ Aa + ...+ A*) (Btq'i B2?'| -4-.:.-+- Bkq^ ),
ou Ai, et Bi sont des fonctions du seul parametre qi: A2 et B2 du seul parametre q*, et ainsi de suite. Le mouvement de ce systeme peut se calculer par quadratures quand aucune force n'agit sur lui. ou plus generaleineni quand les forces actives qui s'exercent sur lui derivent d'une fonction de forces U (</,, <j« qk) de la forme
A 1 ~h A2-h. . .-+- Ax-
Ui dependant de qi seul, . . . , Lv de qv seul. Un cas ties particulier de ce theoreme ;i ete indique a la (in du premier Volume (n° 305).
La methode de Jacohi donne immediatement le mouvement cherche. Le:
variables /?v sont actuellement definies par
dq\
(A, 4- Ao
Tirant de la q\, pour le porter dans T <:t remarquant que II = T — U, ar T est homogene par rapport aux q , on a
[2\lM B9 *
pi
[/equation aux derivees partielles de Jacobi devient done, en y faisant
V = — ht 4- W.
At + A 2 -+-... -4- Ayt
Eile admet ainsi une integrate complete de la forme < 7) W =-- V,4- V2-f-...-h V/.,
ou Vi depend uniquement de qi} V2 de </•>, . . . , V* de qi. En effet, substituons cette valeur de W et chassons le denominateur ; nous aurons line equation qu'on peut ecrire
B2 V dq% I
LBL,(Syi"
La premiere parenthese depend uniquement de la deuxieme de qi< . . etc. Comrae, dans I'equation aux derivees partielles, ces variables sont independantes, la derniere equation ne peut etre satisfaite que si chaque parenthese est separement constante. On doit done avoir
Bv \ dqs,
2AAV— 2Uv=2av (v = i,
les lettres ai} a*: ak designant des constantes dont la somme est
nulle : k — i de ces constantes au a2, . . ., sont done arbitraires, et
Ton a
(8) ak = — (ai-+- a2-h. . .4- a*t).
On a alors, en integrant,
Vv= J y/Bv \JihK,,-\- 2UV4- la^dq,,.
