CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

En remplacant dans ^expression (7) Vi, Vj, . . ., V* par ces valeurs, on obtieni une integrale complete avec k constantes arbitrages «l3 a» .... ak i] h. Les equations finies du rnouvement sont alors

1— = b"-i -JT = 1 — /o ( ia — 1 ) 2 5 . . . , A' — 1 ), c'est-a-dire, en efFectuant les derivations et se rappelant la relation (8),

/\i<:; '">•■■ ~ A Si '/?' =

-7 1 v^2^ A-pu -+- 2 Uu.+ 2CTm J \'lhXk-\- 2U/1-+- 2 a*

«^ \ 2 // A v -I- 2 Uv 4- 2 av

Le probleme est ainsi resolu par quadratures.

M. Hadamard, perfectionnant une methode de Staude, a etudie ^inversion des ces equations, quand les intervallcs de variation de chacun des parametres q sont limites dans les deux sens (Bulletin des Sciences /nathematiques, t. XXXV, avril 191 1),

i"6. Theoreme de Staeckel. — Staeckel a indique dans les Comptes rendus (1893) une generalisation du theoreme de Liouville. Cette generalisation s'applique a un systeme dependant de k parametres : pour ne pas compliquer les notations, nous l'exposerons dans le cas de trois parametres.

Soient A le determinant

ri(?0' ?»(.£*) ?3(f») Mtfs) <M?3)

I Z>(?i) x*tj?0 7.3(^3)

et 'l>i, <&2j ^3 les mineurs de A par rapport aux elements oi3 cp2, 93 de la premiere ligne Wit . . . , Xl5 ... les mineurs relatifs a <bi . . ., 71 ....

Supposons que la force vive 2T d'un systeme et la function de forces U soient de Ia forme suivante (voir Goursat, Comptes rendus, 1 8g3 ) :

q? • q'i ^ q'i \ rT Mg\)®\+Mg*)$-i+Mq-^ <!>! (i>2 y a

La methode de Jacobi \a permettre de determiner le mouvement par quadratures.

Nous avons, en efFet, iri

h = ± qp ; «, + P 1 *, + ,,1 «... , - ■<'< '"' •• + /■ *».

Ecrivons l'equation de Jacobi, puis faisons-y V = — lit -f- W ; Tequat ion (Jf) en \V s'ecrit

,j' Sr*-Qs*-(S)2,K=:,(/'*^/!,,,^-/^--,'i-

Cherchons s'il existe une integrale complete de la forme

Si nous obser\ons qu'on n

? , (1>, -4 cp2 *I>2-J- Cp-tI>:J = A, d>i <I>i + 62<1,2-H't'3<I>:! =o, / t*, -r-^^s-t-/,:! $3 = 0,.

on voit qu'en prenani

= 2(/' + h ?' + ' + } = Fl(^' )j

I'equation (J') est ve'rifiee identiquement : A. ai, «g designent des constantes arbitraires.

Le mouvement est alors delini par les egalites

Le theoreme precedent renferme le theoreme de Liouville comme cas particulier. Gar, si T et U sont de la forme qu'exige le theoreme de Liouville, on voit aussitot qu'on pent toujours les mettre sous la forme (A).

On trouvera une generalisation de ce theoreme dans une deuxieme \ote de Staeckel (Comptes rendus, 7 oetobre 1896).

177. Application de la transformation de Legendre a I'equation de Jacobi. — Dans la theorie precedente on fait jouer aux q et au\ /> deroles difterents; mais il est clair que dans le systeme canonique

. . dqv <M dpv <)H

(I) -cU=of; dF=-^ (v = i, a. ...,*),

le? variables p, q jouent un role symetrique, puisqu'il saffit de changer H eu — H pour substituer les p aux q et reciproquement. D'aprescela, il est loisible de substituer a I'equation de Jacobi

dt \ <)q 1 ' <)q

la suivante

(3.) — Hipi />/,, — t) = o.

dt V <>P\ fyk