I -4- (x -4~ tang X
on a, par integration,
LtangX^ ~|
sans ajouter de constante, car, pour t = o, 0 = o. On a ainsi 0 en fonction de t : en remontant, les equations (3) et (2) donnent r et a en fonction de t. Le mouvement est done connu.
Gherchons quel est le temps T que met l'insecte a arriver en 0, et quelles sont les valeurs correspondantes de 6 et a. Alors, d'apres (2) et (4),
0 + a = - , XT = - ,
L'insecte continuant a tourner sur le cercle, le papier continue a tourner en sens contraire de l'insecte.
3° Dans l'exemple precedent, le point 0 de la feuille de papier est fixe. Mais on peut realiser un mouvement de rotation du meme genre sans fixer aucun point, par le procede suivant. Supposons une feuille de papier dont le centre de gravite est O pouvant glisser sans frottement sur le plan horizontal, et tracons sur ce papier {jig. 188) deux circonferences
egales tangentes en O. Imaginons deux insectes de meme masse — 1 d'abord
poses aux points A et Ar diametralement opposes a O, puis se mettant a marcher sur les deux circonferences avec la meme vitesse v dans le meme sens de rotation, de facon a occuper, a un instant queleonque. deux positions M et Mi symetriques par rapport au point 0 du papier.
D'apres le theorerae du mouvement du centre de gravite, le point 0,
qui est le centre de gravite de tout le systeme, reste fixe puisque les vitesses initiales sont nulles; la feuille de papier tourne alors autour du point lixe O en sens contraire du mouvement de circulation des deux insectes et les equations de ce mouvement sont identiques aux precedentes, si Ton suppose, comme nous l'avons fait, que chacun des deux insectes M et INI , a la moitie de la masse de l'insecte unique de I'exemple precedent.
C'est par un procede analogue qu'un observateur debout sur un plan de glace parfaitement poli pourrrait arriver a se retourner ; il suffirait qu'il eleve ses deux poings en les placant symetriquement par rapport a la verticale du centre de gravite du corps, puis qu'il leur fasse decrire deux cercles dans le raeme sens de rotation en les maintenant toujours syme-
Fig. 188.
triques par rapport a 0<s; le corps tournerait autour de O 3 en sens contraire et arriverait, au bout d'un certain temps, a faire une revolution complete.
4" Imaginons un observateur debout, immobile, sur un plan horizontal parfaitement poli et porlant une ceinture, en forme de gouttiere, dans laquelle se trouveraient placees des boules pesantes d'abord immobiles. Si 1'observateur, avec ses mains, se met a pousser les boules de facon a les faire tourner autour de son corps toutes dans le meme sens, le centre de gravite du systeme restera sur une verticale fixe et le corps tournera autour de cette verticale en sens inverse des boules.
On pourra consulter, sur les problemes du genre de ceux que nous venons de traiter, diverses Notes de MM. Guyou, Maurice Levy, Marcel Deprez, Picard, Appell, Lecornu {Comptes rendus, 2e semestre 1894, Bulletin de la Societe mathematique, novembre 1894) et une Note de M. A. de Saint-Germain (Nouvelles Annales de mathematiques , 1895) oil se trouve, developpe le quatrieme des exemples precedents.
334. Mouvement relatif par rapport a un systeme d'axes anime d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme. — Soit O'x'v ' z' un systeme d'axes paralleles aux axes fixes dont l'origine mobile 0' a pour coordonnees a, 6, c. Appelons x' , r' , z' les
APPBLL. — Traite de Micanique. n.
coordonnces d'un ties points du systeme par rapport a ces axes, x, y. z de^signant ses coordonnees absolues. On a
X = a -+- X . Y = b -4- JK': .3 = C -h .z'.
Si le point O' est anime d'un mouvement rectiligne et uniformed on a
(Pa d2b d°-c
-jF=<- 77F=0' dF>=(K
1TF- ~ ~dF"' T7F ~~ dt* ' ~dF ~~ IF'
Dailleurs les projections des forces sur les axes mobiles sont les memes que sur les axes fixes. Les equations du mouvement de chaque point et. par suite, les equations de mouvement de tout
le systeme gar dent done la me me forme que si les axes O'x'y'z' etaient fixes.
:>3.*>. Cas general ou les theoremes des projections et des moments des quantites de mouvement donnent une integrate premiere. — Le
theoreme que ML Pennachietti a donne pour les fils et le mouvement d'un point libre (n° 131) a ete etendu a un systeme par M. Kostelnikoft (Comptes rendus, t. XCVIII, p. 129). Les equations qui expriment ces theoremes dans le mouvement absolu sont
I SS^S-^i)-^^ •••• '
Supposons qu'il existe des constantes a, b, c, p, q, r, telles que les forces exterieures verifient la condition
j + q22(zXe- xZe) + rZ2(xYe-yXe) = o;
on a alors I'integrale
V dx , v1 dy XT' dz ^ / dz dv\
a y in — - -h b > in ~- -+- c 7 in — = p J in ( 1 - z • Hr )
/ ofo / dv dx\
+ <?2/" 1* a?-' 3) + r2/"(-'' s - ^ ) = con5t"
car la derivee du premier membre de cette equation est nulle, en vertu des relations (1) et de la condition supposee (2).
La relation (2) signifie que le moment relatif du systeme des forces exterieures et d'un systeme de vecteurs fixes est constamnient nul(n(> 28); alors, le moment relatif des quantites de mouvement et du meme systeme de vecteurs fixes est constant.
