CHAPITRE XXV. EQUATIONS CANONIQUES

Si l'ou connait une integrale complete W(*,j0i, . ..,/>£, a±, .... (U-)de •cette derniere equation, on posera

'AY ,MY dW

et ces egalites definiront les integrates de ( i ).

11 est bien facile d'ailleurs de passer de l'equation (2) a l'equation (3), en substituant aux variables q et a la fonction V les nouvelles variables p et la nouvelle fonction W liees aux premieres par les egalites

En repetant le calcul a l'aide duquel nous avons rameneles equations de Lagrange a la forme canonique. on voit que ces formules entrainent les suivantes :

<N t AY dt ~ dt

Le changement de variables (4) transiorme done l'equation (2) en Lequation (3). A une integrale complete \{t,q{ .... q^. a1; . . . , a*) de (2) correspond une integrale complete W(f, p\, . . . , p,c ; a<[, .... de (3), et Ton a les relations

d\ <AY

da,, da*,

Les equations -~ = bV) }> , = ~J~~ ( v — l- 2- ■••> ^) entrainent done bien les equations

La transformation (.» ) est la transformation de Legendre generate. Elle generalise la transformation connue etudiee dans les cours d'analyse dans le cas k = 2. On trouvera la theorie generale des transformations de contact dans LOuvrage de Goursat : St/r les equations ancc derives partielle (Chap. XI).