PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION
184. Principe d'Hamilton. — Nous avons vu, dans le Chapitre prececedent, que, dans le niouvement d'un systeme a liaisons sans frottement, on a. ;i cbaque instant t,
m [(- «£h X) te+ (- V) oy -i- ( jfy Z)si] =0
pour tous les deplacements virtuels de o.r, or, 0: compatibles avee les liai-
sons a cet instant. On peut enoncer ce fait sous la forme suivante qui constitue le principe d'Hamilton.
Donnons-nous les positions P0 et p! du systeme aux instants t0 et t\ : dans le mouvement naturel du systeme de P0 en Pi, sous Taction des forces et des liaisons donnees, les coordonnees x, y, z des differents points du systeme sont des fonctions du temps qui satisfont aux equations de liaison et qui prennent des valeurs donnees d'avance aux instants U et t\. Soient x -+- Bx, y-hBy, z-hBz des fonctions quelcouques de t infiniment voisines des fouctions x, y, z qui correspondent au mouvement naturel, ces nouvelles fonctions satisfaisant egalement aux equations de liaison et prenant aux instants t0 et tt les memes valeurs que x, y, z; de cette facon, ox, By, Bz sont des fonctions de t infiniment petites, s'annulant aux instants t0 et tx et definissant, dans l'intervalle, des deplacements compa-
tililes avec les liaisons. Designons par T= + ^'2) la demi-
force vive du systeme dans le mouvement naturel ou reel du systeme, et par oT la variation que subit cette force vive, quand x, y, z subissent les variations Bx, By, Bz definies plus haut. Le principe d'Hamilton consiste en ce que l'integrale
,(Xox+Yo7 + Zo2)]^
est egale a zero, pour tous les systemes de valeurs des Bx. By. Bz satisfaisant aux conditions indiquees : la somme £ figurant sous le signe J* est
etendue a toutes les forces donnees autres que les forces de liaison. Pour demontrer que BJ est nul, remarquons que BT est egal a
£ m( x Bx' -h y' By' -+- z Bz' ).
Or, on a
r'1 , ' , , Ch dx^dx , rh dx ^ I mx ox at = I m -7- 0 — at = I m —r d ox, Ju Jto dt dt Jh dt
«. dx , . , d Bx „ . . , .
car 8 — est egale a » En integrant par parties, on peut ecrire cette
derniere integrale
dx
dt
^ Ki Ch d*x, , Bx\ — / m — : — ox at.
011 la partie integree est nulle, car Bx s'annule aux limites. On transformera de meme chaque terme de l'integrale J BT dt, et Ton trouvera finalement
