CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

c'est-a-dire oJ = o, conime il resulte dc ['equation (i) qui est applicable, puisque or, or, o- sont des deplacements compatibles avec les liaisons qui out lieu au temps t.

485. Equations de Lagrange deduites du principe d'Hamilton. — Le principe d'Hamilton fournit un moyen simple d'etablir les equations de Lagrange, pour un systeme holonome. Supposons que la position du systeme depende de k parametres independants ql} q>, . . ., qk. Dans le mou- \ ement reel du systeme, q±, q-2, . . <fk sont des fonctions, de t qui prennent des valeurs donnees pour t = t0 et t = ti} puisque les positions P0 et Pi du systeme a ces instants sont supposees donnees. Pour faire subir a cbaquc instant au systeme un deplarement compatible avec les liaisons, defini par les variations 6\r, o>', oz des coordonnees, nulles aux instants t0 et £1} il suffit de faire subir a qu q», qk des variations arbitraires $qi,

0^2, • • •, $qk nulles aux memes instants.

Aloi s la somme 2 f X ox ■+- Y 5V -{- Z oz) prend la forme

Qi o^i -+■ Q-2 oq-i + • • • H- Qk oqk

(n°44t); en outre, T est une fonction de qly q-2, . . ., qk, q\, q'->, • • •-> ^£ et t. Done, d'apres le principe d'Hamilton, si qi} q*, . . ., qk sont les fonctions de t correspondant au mouvement naturel ou reel du systeme, Texpression

oJ = I ( ST -f- Qi hqi -h Qi H- . . . H- Q/t oqk ) dt

" to

est nulle quels que soient hqu Sq*, .... o^/. Or, on a, a chaqiie instant t,

dqx dqk dq\ dq'k

Portons cette valeur dans oJ, puis transformons, par Pintegration par parties, les termes en Bq\ , oq'2, . . ., oq'k. Nous avons par exemple :

f'1 dT ; , , rk dT dT . ['<• f'1 d f <

J, w/'ri>'"=l wldoqi= WiHrJ, m

d t dT dq\

oq^dt,

ou Ion remarque que oq , —o—j^-= ~ ■ La partie integree est nulle,

car 6<y, s'annule aux limites. Faisant la meme transformation pour tous les termes en or/,',, on a

oil 1'on n'a ecrit que le terme en oq]} les termes suivants subtenant par pci nun at ion des indices. Celte expression oJ devant etre nulle quelles que

soient les valeurs de oq\, oq,, ... oq/, en fonction de t, il faut que les

egalant a zero, on obtient les equations du mouvement sous la forme donnee par Lagrange.

Le calcul precedent ne s'applique pas aux systemes non liolonomes, car pour un tel systeme on n'a plus doq = odq. {Voir Appell, Bulletin de la Societe mathematique de France, decembre 1898, et Philip Jourdain, Mathematische Annalen, t. IAY, 1908.)

Cas particulier ou les composantes suivant les axes des forces appliquees sont les derivees partielles d'une fonction U des coordonnees et du temps. — Dans cette hypothese, la somme des travaux virtuels £1 \ ox -h Y oy -+- Z hz) est la diderentielle totale oU de la fonction I prise en regardant t comme une constante. On a alors

Le principe d'Hamilton s'enonce alors sous une forme elegante. S? Von

se donne les positions du systeme aux instants to et tt, la variation que subii Vintegrale

quand on passe du mouvement naturel a tout mouvement in merit voinsin compatible avec les liaisons, est nulle. On trouve done le mouvement naturel en cherchant quel est le mouvement compatible avec les liaisons pour lequel Tintegrale 3 est maximum ou minimum, car, pour trouver ce mouvement, il faut precisement egaler a zero la variation premiere de J. Cela ne veut pas dire que le mouvement naturel rende necessairement l'intcgrale 3 maximum ou minimum mais les equations de Lagrange du mouvement s'obtiennent en ecrivant les equations d'Euler definissant les extremales du problcme de calcul des variations relatif a Tintegrale J. Darboux a montre que, si U ne contient pas t, Fintegrale J est minimum pour le mouvement naturel, a condition que tA — to soil suflisamment petit (Leco/is sur la tlieorie generate des surfaces, t. II).

486. Principe de la moindre action. — Ge principe, moins general que le principe d'Hamilton, s'applique au mouvement d'un systeme assujetti a des liaisons independantes du temps et soumis a des forces derivant d une fonction des forces U. Le principe de la moindre action exprime une propriet6 geometrique independante de la notion du temps.

Soit T la demi-force vive du systeme; en appliquant au mouvement le

coefficients de ces \ariations soient tous nuls sous