II. — THEOREME DES FORCES VIVES
336. Demonstration. — Le theoreme des forces vives a d'abord ete" employe par Huygens : il fut enonce sous une forme gen^rale par Jean et Daniel Bernoulli." Pour le d^montrer, nous partirons encore des equations du mouvement d'un point M du systeme :
m-jfc =SYf-hSYc,
En appliquant a ce point le theoreme des forces vives, nous avons
d T--^- = S(Xf dx H- Yj- dy -h Zt dz ) 4- 2 ( Xe dx + Ye dy -+- Le dz ).
Si ensuite nous faisons la somme de toutes les Equations analogues, il vient
( 1 ) d^ ^ = SS(Xi dx -+■ Yi dy-hZt dz) + 22 (Xc dx -h Ye dy -+- Ze dz).
La somme l*mv2 des forces vives des divers points se nomme la force vive totale (Leibnitz). On a done le theoreme suivant :
La different telle de la demi- force vive totale du systeme est egale a la somme des travaux elimentaires de toutes les forces, tant interieures qu exterieures.
II est ires important de remarquer que les travaux des forces interieures ne disparaissent pas. G'est ce qu'on verifie imm^diatemcnt. Soient, en efJet, deux points M et M' (fig- 189) situ^s a une distance /' l'un de l'autre : Taction de M sur M! est une certaine force dirigee suivant la droite MM', et, inversement, Paction
de M sur M' est une force egale et opposee. Suiyant une convention de^a faite (88), nous appelons action mutuelle F des deux points la valeur commune des deux forces precedee du signe ~j- ou du signe — , suivant que les deux points se repoussent ou s'attirent. Si les deux points subissent un d(^placement infiniment petit quelconque, leur distance varie de dr, et la somme des travaux des deux forces appliquees aux deux points est (88)
Fdr,
nous dirons, pour abr^ger, que c'est la le travail el6mentaire de Taction mutuelle des deux points.
D'apres cela, en appelant F/f* Taction mutuelle des points My
et M/{ situes a la distance rf}k l'un de l'autre, la somme des travaux elementaires des forces int^rieures est
22 (X/ dx -+- Yj dy ■+- Zi dz ) =^VjM drhk:
la sommation etant etendue a toutes les combinaisons des points du sjsteme deux a deux.
Le theoreme des forces vives s'^crit alors
(V = M(X«€te-f. Yedr^-Zedz)-h^Fy,k drj,k.
i\ if.
Considerons le mouvement du sjsteme pendant l'intervalle de temps fini t — t0; dans ce mouvement, toutes les quantites qui figurent dans la relation (i ) ou (2) sont des fonctions du temps : nous avons done, en integrant de t0 a t,
Ln variation de la demi- force vive, pendant V intervalle de temps fini t — t0. est done egale a la somme des travaux de toutes les forces , tant interieures qu 'exterieures, appliquees au systeme.
337. Remarque sur les corps solides. — Si le systeme est un corps solide dans le sens de la Mecanique rationnelle, e'est-a-dire un systeme dont tons les points sont a des distances invariables les uns des autres, les travaux elementaires des fortes interieures ont une somme nulle. En effet, dans ce cas, les distances rj i sont toutes constantes : on a done
drjj = o et ^Fy,* drltk = o.
Done, pour un corps solide, la differentielle de la demi-force vive est egale a la somme des travaux elementaires des seules forces exterieures.
338. Cas dans lequel Paction mutuelle de deux points du systeme est fonction de leur seule distance. — Si l'on suppose que Taction mutuelle Fy * de deux points quelconques My et M* est une fonction de leur seule distance rj^r la somme des travaux elementaires des forces inter ieures est une differ -en tie lie to tale exacte d une fonction des distances mutuelles. En eflet, on a alors
F/.A = ?(>/>*)> Fy,* drjj = d J cp(ry^) drj^.
Chaque terme de la somme des travaux elementaires des forces interieures ^Yj^drj^ est alors une differentielle exacte; la somme elle-meme en est une.
330. Cas ou le theoreme des forces vives donne une integrale premiere. — Si la somme des travaux elementaires de toutes les forces, tant interieures qu'exterieures, pour le depiacement reel du systeme, est une differentielle totale exacte d'une fonction
U(xi,yi, Si, . . ym zn) des coordonnees des points du sys-
tem e, on a
A designant une constanle arbitral re, appelee conslante des forces vives. L'int^grale premiere ainsi obtenue est Vintigrale des forces
vives.
Gette circonstance se pr^senle, en particulier, quand les forces interieures et exterieures dependent uniquement des positions el non des vitesses des points, et derivent d'une fonction de forces U(a?i,'^, z±, . .., .xa,yn, zn). Mais elle peut se presenter meme dans des cas on certaines forces dependent des vitesses et du temps, a condition que la somme des travaux de ces forces speciales soit nulle dans le d^placement reel et que la somme des travaux des autres forces soit la difFerentielle totnle d'une fonction U des coordonnees.
340. Homogeneity. — Si I on prend pour unites fondamentales les unites de longueur, temps et masse, on sail qu'en rendant I'unile de longueur A fois plus petite, celle de temps r fois plus pelile, celle de masse \j. fois plus petite, l'expression d'une longueur est multipliee par 1, celle d'une masse par celle d'une
vitesse par ~; la force vive ^ est done natltipliee par ^-r:
d'autre part, l'expression d'une force est multiplied par ^-j et,
par suite, celle d'un travail (produit d'une force par une longueur)
est multipliee par Les deux membres de l'equation des forces
vives (2) sont done bien du meme degre d'homogeneite. Si le travail est exprim^, par exemple, en kilogrammetres, la force vive sera ainsi un certain nombre de kilogrammetres. Si le travail est exprime en ergs {erg, unite de travail du sjsteme C. G. S.), il en est de meme de la force vive.
341. Exemple. — Appliquons le theoreme des forces vives au mouvement de deux points materiels libres m et m , de masses m et m! {fig. 190), s'attirant Tun l'autre suivant la loi de Newton et attires suivant la meme loi par un centre fixe M de masse
Le systeme mobile est ici compose de deux points : les forces interieures
sont les attractions mutuelles de deux points. Si Ton appelle /• la distance
id • 11 i / fmm!
mm, la valeur algebrique de I action mutuelle de m et m est r = — - — - — >
•i . - v~\ w fmm! r et son travail elementaire v dr — — - dr. Les torces exterieures sont
les attractions P et P' du point M : si 1'on appelle p et p les distances
M m et M.m'f les valeurs algebriques de ces attractions, suivant la conven-
, f)xm ftim' tion faitr dans la theorie des forces centrales, sont — — , — —
• -i . • rum , f\j.m , ,
et leurs tra\ aux elementaires — -1— ^ — dp, — '—L-rt — dp .
Fig. 190.
Le theoreme des forces vivesdonne done, si l'on appelle v et v' les deux vitesses.
, m v- -+- m r'- fmm' , fix m , f\xm! ■. d == — ■ dr — — — d o — J—t — dp .
I >n se trouve alors dans le cas du numero precedent : le second membre est une difTerentielle totale exacte, et l'on a l'integrale des forces vives
m'v'- fmm f\xni ' ■ f\xm' j
342. Distinction des forces en forces donnees et forces de liaison. — Dans ce qui precede, nous avons partage I'ensemble des forces appliquees a un systeme en deux categories, les forces interieures et les forces exterieures. Gette distinction est surtout importante dans la theorie de l'energie, comme nous le verrons dans le paragraphe V. Dans beaucoup de questions de M^canique rationnelle et surtout en Mecanique analytique, il est plus simple de partager les forces appliquees aii systeme en deux autres categories : les forces de liaison provenant des liaisons imposees au systeme et les forces donnees que Ton fait agir sur le systeme. C'est de cettc faron que Ton classe les forces, quand on cherche les conditions dY-quilibre d'un systeme a l'aide du principe du
4o DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
travail virtuel (n° 157 ). Nous pourrons alors enoncer le th^oreme des forces vives sous la forme suivante :
T.a differ entielle de la demi-force vive totale est egale a la somme des travaux elementaires de toutes les forces, tant donnees que de liaison, appliquees au sysleme.
343. Cas particulier important ou les travaux des forces de liaison sont nuls. — Si les liaisons sont inde pendant es du temps. c'est-a-dire exprimables par des Equations ou ne figurent que les coordonnees des points du systeme ct non le temps, comme au n° 176; si, de plus, les liaisons sont parfaites, c'est-a-dire ont lieu sans frottement, la somme des travaux elementaires des forces de liaison est nulle pour le de"placement reel que subit le systeme pendant le temps dt. En effet, dans ces conditions, le defacement reel du systeme est evidemment compatible avec les liaisons, et la somme des travaux des forces de liaison est nulle (n° 162). On a done le th^oreme suivant :
Si les liaisons sont ind£pendantes du temps, et s'il h'y a pas de frottements, la differ entielle de la demi-force vive est egale a la somme des travaux elementaires des forces donnees.
II peut arriver, dans ce cas particulier, que la somme des travaux 6le"mentaires des forces donnees soil, dans le deplacement reel, une differentielle totale cxacte d'une fonction U des coordonnees des points du sysleme : le theoreme des forces vives donne alors les equations
a = dV, =1 + /;,
dont la seconde est l'int^grale des forces vives.
Remarque I. — Quand le systeme est a liaisons completes (n° 168) ind6"pendantes du temps et sans frottement, le ih^oreme des forces vives donne immediatement liquation unique du mouvement. En efFet, la position du systeme ne depend alors que d' un parametre, et le theoreme des forces vives fournit une equation ou n'entrent que les forces donnees et qui permet de calculer ce parametre unique en fonction de t.
Remarque II. — Si certaines liaisons dependent du temps, le travail des forces de liaison correspondantes n'est pas nul, en general, pour le deplacement reel du systeme. On a un exemple elt^mentaire du fait dans le mouvement d'un point assujetti a srlisser sans frottement sur une courbe mobile : le travail de la force de liaison n'est pas nul dans le deplacement reel du point (n°258).
> '<i. Application. — Chaine honwgene pesante glissant sans frottement sur une courbe fixe. — Soient il la longueur de la chaine AB, p la masse de l'unite de longueur, et, par suite, zip la masse totale.
Fig. 191.
Prenons un axe Oz vertical dirige vers le haut; appelons s l'arc de la courbe fixe, sur laquelle glisse la chaine, compte depuis un point fixe O' jusqu'au point de la courbe d'ordonnee z; la courbe etant donnee, on peut toujours exprimer z en fonction de s,
Cela pose, appelons, en particulier, <r Tare O'M, du point 0' jusqu'au milieu M de la chaine, point qui n'est pas le centre de gravite : il est Evident que la position de la chaine est connue, des que Ton connait a. La chaine sur la courbe forme done un systeme a liaisons completes (n° 168). La rhaine etant supposee inextensible doit etre regardee comme une file <h: points materiels lies de telle facon que chacun d'eux est a une distance constante de celui qui le precede et de celui qui le suit.
Les forces appliquees au systeme sont : i° les poids mg des points (forces donn^es); 2" les reactions normales de la courbe (forces de liaison); 3° les actions mutuelles de deux points consecutifs (forces de liaison). Si Ton voulait adopter la classification en forces interieures et exterieures, les actions mutuelles des points consecutifs seraient des forces interieures, les poids el les reactions des forces exterieures.
Quand la chaine glisse sur la courbe, les travaux des forces de liaison son! mils: il est aise de le verifier : les reactions sont normales aux depla-
cements des points, Paction mutuelle F de deux points consecutifs a un travail nul, car la distance de ces points est invariable. II ne subsiste done que les Iravaux elernentaires des poids. Pour les evaluer, considerons sur la chaine en m un clement de longueur 8X dont la distance Mwau point M le long de la chaine soit X, X etant compte positivement dans le sens AH, de sorte qu'on aura tous les elements de la chaine, en faisant varier X de — / a -+- /. La coordonnee z de Telement 8X est
car Tare 0' m est s = a -+- X. Si Ton fait glisser la chaine d'une longueur dz pour Pamener de AB en A'B', le z de Pelement oX croit de
dz = c'( rs ■+- X ) d<j,
el le travail ele'mentaire du poids gp 8X de cet element est
— gp oX dz — — g p oX 9' ( 7 -+- X ) dn.
La somrae des travaux elernentaires des poids de tous les elements est la somme des expressions telles que la precedente, lorsque X varie de — / a -h /; e'est done
-gpds ?'(*-r-X)oX = -gpdo[s(? -+-/)-
On peut ecrire cetle expression
— pg d<j(Zi~ Co),
en designant par z0 et Z\ les z des extremites A et B de la chaine. On voit que ce travail est le meme que celui que Ton devrait effectuer pour transporter l'element AA' = di de la chaine d1une extremite a l'autre; sans deplacer le reste du systeme.
D'autre part, dans le mouvement de la chaine, tous les points m ont
meme vitesse v = ^ : la force vive est done dt
L'equation des forces vives est alors
l? d{^f~~9g + l) - ?.(« - OJ =
la forme de cette equation montre que Ton aura / en fonction de 7 par deux quadratures seulement. Si Ton divise les deux membres par dt et si Ton effectue les differentiations indiquees, elle devient
d*c = w(?-4- /)— c(cr— /)
dV- S 2 1
equation analogue a celle du mouvement rectiligne d'un ])oint sous Taction d'une force dependant de la seule position. Comme verification, si Ton suppose que la longueur / de la chaine tend vers o, le deuxieme rnerabre a — g 9(7) pour limite ct Ton retombe sur l'equation
equation du mouvement d'un point materiel pesant sur la courbe fixe.
Comme l'equation du mouvement de la chaine ne depend que de la fonction c, le mouvement restera le meme lorsqu'on developpera le cylindre qui projette horizontalement la courbe donnee, sur un de ses plans tangents.
11 y a deux cas 011 le mouvement du milieu de la chaine ne depend pas de sa longueur :
i° La courbe fixe est une helice tracee sur un cylindre vertical. On a alors
= as.
a designant une constante, et l'equation (2) se reduit a
IF
equation independante de /;
20 La courbe fixe est une cyeloide d'axe vertical ou une courbe obtenue en l'cnroulant sur un cylindre vertical. On sait que dans ce cas on a (250)
par consequent, l'equation du mouvement M est
l>ans ces deux cas, le milieu M se deplace comme un point materiel pesant isole sur la courbe (Puiseux, Journal de Liouville, t. VIII).
Les deux formes de cp que nous venons de considerer sont d'ailleurs les seules qui jouissent de cette propriete. En effet, si l'equation du mouvement doit i t re independante de /, on doit avoir
Chassons le-, ddnominateurs et prenons les derivees secondes par rapport a / des deux memltres; nous avons
9'7cr-h/)- /)= o.
quels que soient a et /; il en resulte que la fonction ?"(-0 doit etre independantc de s,
Si k est nul, on en tire
c'est le cas de Tlielice.
Si /, -A o, on doit avoir
(Equation qui caracterise une cycloide.
La courbe qui porte la chaine peut etre formee de plusieurs parties geometiiquement distinctes. Supposons-la formee d'une horizontale Ox et
Fig. 192.
d'une verticale descendante Oh. Nous avons vu que l'equation du mouvement peut s'e'crire
Si la chaine est tout entiere sur la partie horizontale Ox, son mouvement sera uniforme, puisque Ton aura Z\ = Zq = o(fig. 192) et, par consequent,
Si Tune des extremites de la chaine a deja depasse le point O et en est a une distance OB = u, on a, en comptant 1 a partir de 0 dans le sens AOB,
et, par consequent,
dr- 1 1 '
le point B se deplace done comme s'il etait repousse par 0 proportionnellement a la distance. Gette derniere equation n'est valable que tant que A
est supporte par la partie liorizontale ; lorsque A aura atteint O, la chaine tombera librement (Vun mouvement uniformement accelere.
Calcul de la tension. — Considerons une portion Km de la chaine terminee an point ni tel que arc 1M /?i = a ; on peut considerer le systeme qu'elle constitue com me se deplacant sous Paction des poids de ses divers elements, des reactions de la courbe et de la tension T au point m comptee positivement dans le sens AB (voir fig. 191).
Si Ton applique le theoreme des forces vives au mouvement de cette portion de chaine \ rn, on trouve
en evaluant les travaux des poids comme precedemment, remarquant que
le travail de T est Tr/a, et appelant z Pordonnee du point m.
1 )ivisons par dt et efTectuons les differentiations ; il vient, apres suppression
, , dz du lacteur —r ?
dt
T = (I h- X ) P ^ + ^ P[ cp ( * + X ) - ? ( a - / )]. d- a
llemplacons —j^ par sa valeur; nous aurons, tous calculs faits,
T= ^[->/?(a-A)-(^+ X)9(a-f-/)(/-A)?(Jr-0].
Si Ton applique cette formule au cas de l'helice, on voit immediatement que T est toujours nul ; par consequent, chacun des points de la chaine se deplace comme s'il etait isole. II peut se faire qu'on trouve pour T une valeur negative; dans ce cas, la chaine se replierait sur elle-meme. car un element oa subirait une pression et non une tension. Pour que le mouvement tut realisable dans tous les cas, il faudrait supposer la chaine formee par une sorte de chapelet de petites spheres enfilees sur un .fil flexible et glissant dans un tube de meme rayon. Alors, si T est positif en un point, le fd y est tendu; si T est negatif, les spheres contigues pressent Tune sur I'autre. On verifiera que, dans le cas de la cycloi'de, il y a toujours compression.
Cettt: question du mouvement d'une chaine pesante sur une courbe fixe a donne lieu a une interessante application de la the'orie des equations integrates par M. Myller (Nouvelles Annates de Malhematiques, juillet I9'J(>).
3 i.'>. r Application au mouvement d'une vis mobile sans frottement dans un ecrou fixe. —Dans ee mouvement tous les points du solide mobile
dectivent des helices de merne pas h, et avancent. parallelement a l'axe, de — 6 quand la vis tourne de l'angle f).
Le systeme etant a liaisons completes, le theoreme des forces vives nous donnera le mouvement.
Prenons l'axe de la vis pour axe des z. Le systeme constitue par la vis est soumis a des forces donnees Fi, F2, . . F„ et aux reactions de l'ecrou, qui sont partout normales a la surface de la vis, puisqu'il n'y a pas de frottcnient.
Soient r, 0, z les coordonne'es semi-polaires d'un point queiconque du systeme et Zq sa cote, quand Tangle 6 est nul : les coordonnees cartesiennes de ce point sont a un instant queiconque
x = r cos 6. y =■ r sin 0, z = zu h 0;
la vitesse de ce point a done pour projections
dx . k dti dy „dft dz h db
—z- = — r sin 0 — i — = r cos 0 —r > —r = — -r dt dt dt dt dt dt
quantite's que nous ecrirons, en introduisant la vitesse angulaire to = ^>
dx dy dz h
dt J ' dt ' de 2 a
on a done pour le carre de la vitesse
to
Multipliant par m et faisant la somme pour tous les points du corps, nous aurons pour expression de la force vive totale
to2 2 mr2 -f- oj- - — £ m,
4tc2
c^st-a-dire, en de'signant par k le rayon de gyration et par M la masse, L'equation des forces vives est ainsi
le signe 2 se rapportant aux forces donnees F], .... F„. car les travaux
des re'actions sont nuls. En remplacant dans le second membre ^> ^?
1 * dt dt dt
par les valeurs trouvees plus haut, ce second membre devient
w[S(lY-rX)^i2z];
mais Y — /X) est la somme des moments des forces donnees par rapport a 0 3; r est done la projection N sur cet axe du couple resultant de la reduction des forces donnees a I'origine; quant a e'est la projection j£ de la resultante generale sur le meme axe. L'equation des forces vives peut done s'ecrire
en effectuant la differentiation, cette equation prendra la forme
v ' \ / dt in
Si les forces exte'rieures F satisfont a la relation
['equation ci-dessus donne
d co
et le mouvement est uni forme.
Dans le cas general, les forces peuvent etre reduites a iin torseur ^ e'esta-dire a une force AR et a un couple d'axe AG dirige suivant la meme droite ;
K est I'intensite et j> = ^ le parametre de ce torseur. Designons par 0 la
rv
plus courte distance des droites R et O^, et par a leur angle; nous aurons, en ellectuant la r(:duction a I'origine,
f? = R eosa, N == Geosa + Ro sin a,
puisque N doit etre la somme des moments par rapport a O ^ de la force R et des deux forces qui constituent le couple G.
Le mouvement de la vis se reduit a une translation et a une rotation dirigees suivant Oz. et forme ce que Ton peut appeler, avec Ball, une tor.
sion dont I'intensite serait co, et le parametre p' = — • Avec ces notations,
l'equation des forces vives prise sous la forme (i) devient
d '- | M i^k- -+- 7~~>^ w2l — R-^KjP P) cos a -h o sin a] dt.
On voit done que ['expression de la somme des travaux elementaires des forces donnees est syme'trique par rapport au torseur et a la torsion.
2° Application au probleme des trois corps. — Nous appliquerons les the'orenies ge'ne'raux mi probleme suivant : Trouver le mouvement de
trois points mat<:riels entierement libro, s'attirant suivant la loi de V w ton.
D&ignons par ri>, rri. les distances mutuelles des points Mi, M2, M ■ donn«:es. Les actions mutuelles de ces points ont respectivement pout valeurs
— frrti m* — fm^m% — fm^m^
Gomme le systeme n'est soumis a aucune force exterieure, le mouvement de son centre de gravite est rectiligne et uniforme, ce qui donne trois equations finies du mouvernent. Pour la meme raison, on peut appliquer le theoreme des aires par rapport aux trois plans coordonnes, ce qui donne trois integrates premieres. On peut enfin en obtenir une derniere par le theoreme des forces vives.
La force vive totale du systeme est en effet
miv\-+- m^v\-k- m?, v\ ;
d'autre part, la somme des travaux elementaires des actions mutuelles est, d'apres ce que nous avons vu,
fni] m» , fm>m~ , fm^rrix ,
— ' ; — - di\* — * 1 { — ' ; dr , , :
c'est la differentielle exacte de
fmim« fm > m> fm-.nii : : • . h £ •
ri2 r23 /'si
on a done l'integrale des forces vives
micf-4- miv\ -\-,m^v\ I fniym* ^ fm*m?, ^ fm:imi\ ^ ^
Bruns a demontre (Ada mathematical t. XI) que les integrates ainsi obtenues sont les seules qui soient algebriques par rapport aux coordonnees des corps et a leurs derivees premieres; Poincare (ibid., t. XIII) a etabli que le probleme des trois corps ne comporte, en dehors des integrales ci-dessus, aucune integrale analytique et uniforme. Enfin, P. Painleve l Memoire couronne, Comptes rendus, 17 decembre 1894) a demontre quril ne peut pas exister d'autre integrale qui soit algebrique seulement par rapport aux derivees premieres.
346. Resume : les sept equations universelles. — Nous pouvons ainsi ecrire, pour un systeme quelconque, sept equations :
Trois equations exprimant le theoreme des projections des quantites de mouvement (ou du mouvement du centre de gravite).
Trois equations exprimant le theoreme des moments des quantites de mouvement.
Une equation exprim.ant le theoreme des forces vives.
I '.e sont les sept equations universelles, applicables a un systeme quelconque; les six premieres contiennent uniqueinent les forces exterieures; la septieme, celle des forces vives, contient, en general, les forces exterieures et les forces interieures.
III. — THEORfiMES DE CINEMATIQUE POUR LE CALGUL DES MOMENTS DES QUANTITfiS DE MOUVEMENT ET DE LA FORCE VIVE.
347. Definition du mouvement relatif d'un systeme autour de son centre de gravite. — Soit un systeme en mouvement par rapport a des axes fixes Oxyz. Menons par le centre de gravity G de ce systeme des axes Gx'y' zf paralleles aux axes fixes (fig. l9$)- Le
Fig. i93.
mouvemonl relatif du systeme par rapport a ces axes s'appelle le mouvement relatif du systeme autour de son centre de gravite,
oi8. Calcul de la somme des moments des quantites de mouvement par rapport a un axe fixe. — En introduisant ce mouvement relatif, on peut enoncer le theoreme suivant :
Theoreme. - La somme des moments des quantites de mouvement, par rapport a un axe fixe, est egale au moment de la quantite de mouvement de la masse totalc du systeme supposer concent ree au centre de gravite, augments de la somme des moments des quantites de mouvement par rapport a un axe par allele au premier et passant par le centre de gravite ;
APPBLL. — Traite tie Micditique. n. \
5o DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
cette dernibre somme ilant calcuUe dans le mouvement relatif autour du centre de gravity.
La demonstration resulte immediatement des forrnules elementaires relatives au changement d'axes de coor donnees.
D^signons par x, y, z les coordonn^es d'un point du systeme par rapport a des axes fixes; par £, n, £ celles du centre de gravity et par x\ y', z' les coordonnees du meme point par rapport a des axes Gx'. Gy', Gz' paralleles aux axes fixes men^s par le centre de gravite; on a alors, d'apres les forrnules du changement d'axes, (i) x — | -f- oo' j y = -rj -+■ y', z = I -h z .
Calculous, par exemple, la somme des moments des quanlites de mouvement des divers points du systeme par rapport a O;. Nous avons, d'apres les forrnules du changement d'axes.
> dy dx\ It 7 dt I
vT ,r >^ld'<\ f/r'\ t '^ldl dx^
^Sm/^ T[§\+ vm (j <W y <M \ - dt tit J \ dt J dt
„ . dr, . , d\ te dy dx
^ < aft dt ' rf/
Mais le centre de gravite est a l'origine mobile; on a done
nx'dr> *> - ' - - '</?
On a encore
^mx' —r — — Unix' = o, 2 m y'
dt dt J dt
„ y. dy „ <£r
2 ra £ -4- = E 2 m -4- = 0, 1 m r. — —
car, les quantites 2mx', Imy' £tant nulles, leurs derivees le sont En tenant compte de ces relations, nous obtenons l'equation
v / dy dx\ w A dt\ d\\ ■ I dy' ,dx\
puisque, dans la premiere somme du second membre, on peut mettre ~J — yj en facteur et que 2m = DM.
Cette derniere equation exprime precisement le th^oreme a
<16montrer, car le premier terme JTl ('■ ~ — f} — ] est le moment
1 \ dt (ft j
c'l somme
dc la quantite de mouvement, par rapport a Os, de la masse totale concentree en G, et le second Im|.r'^ — ^ ^Ylt des moments des quantites de monvement par rapport a l'axe Gz' parallele a O:, calculee dans le mouveinent relatif autour de G.
On pent aussi enoncer le theoreme sous la forme suivante :
Le moment cinetique d'un systeme au point O est egal au moment cinetique au point 0 de la masse totale supposee concentree au centre de gravite, augmente du moment cinetique du systeme dans le monvement relatif autour du centre de gravite, pris en ce centre de granite.
On le verifie directement en ecrivant
v, 77^ 5m „ f-p± ~~>\ A / d& diM Z m OM — =2/»iOG + GM) A —r H r
v dt K \ / x \ dt dt
et remarquant que
SmGM
dt
349. Simplification du calcul de la force vive. — II existe, pour le calcul de la force vive, un theoreme analogue au precedent.
Theoreme de Koenig. — La force vive d'un systeme est egale a la force vive qu'aurait la masse totale concentree au centre de gravite, augmentee de la force vive du systeme dans le mouvement relatif par rapport a des axes de directions fixes menes par le centre de gravite.
Employons les memes notations que dans le numero precedent. Les formules de transformation de coordonnees
x = fj -+- x', y = r, z = 5 -+- z! noiiN donnent pour le carre de la vitesse absolue du point m
idx' d"r >dy' dr idz' a%
oil, en designant par V la vitcsse du centre de gravite et par r la vitesse relative du point M,
tlx dc dy' dtx dz' d£
multiplions cette equation par m et ajoutons memhre a membre toutes les equations analogues; nous aurons
les coefficients de C~ •> ^ sont nuls en vertu des conditions
dt dt dt
Smx' = o, Sm/=o, 2ras' = o,
qui exprinient que l'origine des axes mobiles est le centre de gravite. Nous arrivons ainsi a l'equation
Zmv«-= ORY^-h imp'2, ce qui demontre le theoreme.
En notations vcctorielles, on ecrirait v ( dMY (dt d GM \ 2 ^fd^Y v ^GmV puisque
dGM
dt
