CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

tlieoreme eles forces vives, on a, puisque Jes liaisons sont independantes du temps et que U ne contient pas t,

jimp* ,,r Itniv1 .

La position du systeme, suppose, holonome, depend de /cparametres geometiiques indepcndants qi} q±, ... q^, de sorte que les coordonnees d'un point quelconque x, y, z du systeme s'expriment par des fonctions de ces parametres ne contenant pas t,

^ = ?(<7h<7-2, y = b{quqi: ...,qk), z^rs{qup, ...,?*).

Pour obtenir un deplacement infiniment petit du systeme, il suffit de faire varier ces parametres de dqu dq*, dq/c; alors x, f, z subissent des accroissements dx, dy, dz; posons

dS- = Z 7?i(dx--+- dy"--\- dz2),

la somme etant etendue a tous les points du systeme. En y remplacant dx,- <l\\ dz par leurs expressions en fonction de dqx, dq2, . . ., dqu, on trouve pour dS'2 une forme quadratique de ces differentielles

dS- — S at) dqt dq / ( atj = a/t ),

les coefficients ay etant fonctions de q\, qt, . . ., qk- La force vive Smcest alors -^j^- et l'integrale des forces vives s'ecrit

dt V

Xous supposons, dans la suite, que la constante des forces vives h a une valeur determinee.

Considerons alors deux positions P0 et Pi du systeme correspondant aux valeurs (#1)0, (^2)0, • (qk)o et (qi)\, (£2)1, . . .', (qk)i des parametres.

Au point de vue purement geometrique, on peut amener le systeme d'une position a 1'autre d'une infinite de manieres : pour avoir l'une de ces manieres il suffit d'exprimer </,, q2, qk en fonctions continues d'un para met re X

(2) ^=/2(X), ' qk = fk(n

de telle facon que, pour X = a0, les parametres prennent les valeurs (<7i)o, - ((/a)o correspondant a la position P0 et que, pour X = X1? ils prennent les valeurs (q\)\, (^2)1, (<7>0i correspondant a Pi. Alors, X variant d'une maniere continue de X0 a X,, le systeme passera d'une maniere continue de la premiere position a la seconde. A chaque choix des fonctions fu f-,: . . . , J\ correspondra ainsi une facon d'amener le systeme de la position P0 a la position \\.

En employant un langage geom<-tri pn:, nous regarderons qif q^ .... qt oomme les coordonnees d'un point dans un espace a k dimensions : les positions P0 et P] correspondent alors a deux points de cet espace, de coordonnees (71)0, (7/2)0, ...,(?*)o et (71)1, (£2)1, (qk)i ' Ja succession des points definis par les relations (2), quand a varie a0 a Xij const'itue une courbe C joignant les deux points P0 et IV On appelle aloi> action de P0 a P1 le long de la courbe G 1'integrale

prise le long de celte courbe. Appelons 7,. <} > 7/ les derivees premieres de qi, (/■>, . . q/c par rapport a a, en indiquant la derivation relative a a par un point place au-dessus des 7; alors, le long de la courbe C. on aura, puisque le long de cette courbe qx. q-,, .... q/c sont fonctions de /..

dS = v - a / ; dqt dqj= a a 7 1 7 / dl ,

car dqt = qtdX, etc. Nous appellerons $ la forme quadratique

Alors

a = jf sJ'iX) -+- 1I1 \J 2B"^/a .

Pour chaque courbe joignant les deux points P0 et Pi, c'est-a-dire pour un choix determine des fonctions A, /2, . . - cette action a une valeur determinee. Le principe de la moindre action consiste en ce que, si Von cherche la courbe G par laquelle il faut joindre les deux points pour que 6i soit un minimum, on trouve que cette courbe doit etre une des trajectoires que suit naturellement le sysleme quand on le lance de P0 de telle facon qiCil atteigne P 'u la constante des forces vives etant h. Dans cet enonce nous appelons trajectoire (dans l'espace a k dimensions) la courbe definie par la succession des valeurs de 71. 72, . . q/c correspondant au mouvement reel du systeme sous Taction des forces donnees derivant de U.

Pour trouver les expressions de q^ q<, q/c en fonction de a ren-

dant Cl minimum, il faut ecrire que la variation 6C\ de 1'integrale est nulle quand q]} q?J, . . ., q/c subissent des variations infiniment petites aqi. $q2, . .., oq/c, qui sont des fonctions arbitraires de a, assujetties a s'annuler aux limites X0 et Xt : Cette derniere condition resulte de ce que les valeurs de qXi 72, . . ., qk pour X = X0 et X = Xj sont donnees a l'avance. Quand qx varie de 071, sa derivee 71 par rapport a X varie de 871; on a done

&*» r'T v^e ^ 1/2U -+- ih 1 de de * \ 1 r

CHAPITR E XXV.

EQUATIONS CANONIQUES.

011 nous n'ecrivons que les Lermes pro\enant de la variation tie q{ ; les termes suivants s'obtiendraient en mettant successivement 2, 3, . . . , k a la place de 1'indice 1. Transformons par Pintegration par parties les termes en o(/u oyo On a

„ dq 1 doqy

" IK = ~dT^

?,<j , dX = d o</\

La partie de l'integrale contenant oyi s'ecrit done \'->. I -+- 2 1 1. 0®

doqx =

V/2 0 ry7>

La partie integree est nulle aux lirnites, car o^, s'annule aux limites. On transformers de meme les autres termes et Ton aura

8ci=r'/,[ M== ™di

J\ L v-iU +2// ^

'aU -+- 2 A e>0

v/20 f)qi

oil nous n'ecrivons que les termes contenant oqt en facteur. Pour que l'integrale C\ soit minimum, il faut que o(X soit nul, quelles que soient les fonctions infiniment petites oq^ oq-2, oq/x-. U faut done que, sous le

signe J* y les coefficients de ces variations soient nuls se'parement. On a

ainsi, pour determiner la courbe rendant l'integrale minimum, les k equations suivantes, dont nous n'ecrivons qne la premiere :

V/2U ^oh c)® r 7= r- dX —

v/20 fltyl

Ces equations differentielles du second ordre delinissent ^j, y2j y/. en fonction de X : il faudra determiner les constantes arbitraires introduites par ['integration en e'erivant qne pour X = X0, <7i: (/o, .... prennent les valeurs donnees (</i)o, • (<7/t)o et que, pour X == Xi, ces parametres prennent les valeurs donnees (#1)1, (qk)i- Mais il est

maintcnant aise de voir que ces » (j nations (3) definissent precisement les trajectoires du systeme dans son mouvement naturel : nous allons montrer, en efifet, que, par un changement de variable independante, elles se ramenent aux liquations du mouvement sous la forme de Lagrange. Remplar.ons a par 1111c autre variable t definie par la relation

,//= \ gjj = dX

V 2 LJ -;- ill

et appelons q\, q'2, . ..r q'k les d<:rivees de qi: q*, . .., qk prises par rapport ;i t. Posons cn outre

et rappelons que

J dS iv* / ■ dq%\

Nous aurons evidemment

^0 <)T / dty d6 dT cH (5) ^fi'~ dql\dXj 1 0<h~ dq'i dk9

, dt

corame le \oit en calculant ces expressions et remarquant que qL = <yf — • Les equations (3) deviennent alors. en y faisant les substitutions (5) et

- / / \ sl'1 0 -I- 2 h . .

remplacant ensuite dh par sa valeur (4) p= dt,

— dt-+- — dt — dl — ) = o.

dqy dqi /

Ge sont precisement les equations de Lagrange. En outre, l'equation (4)

i dSi (ikon a \li®d\ — dS, et cette equations (4) donne

raontre que h est la constante des forces vives, car, 0 etant egal a ~

' ^ == ^2(U.+ A) ou T = U + h,

qui est bien l'integrale des forces vives.

Le theoreme est done demontre : la courbe rendant Faction minimum de P0 en Pt est une des trajectoires naturelles joignant ces deux points, la constante des forces vives etant h; d'une maniere generale, on trouve ces trajectoires en ecrivant S<5L = o.

487. Probleme des geodesiques. — Si la fonction de forces U est nulle, e'est-a-dire si le systeme suppose Iiolonome n'est sollicite par aucune force, on dit que les trajectoires sont des geodesiques, par extension du nom donne aux courbes que decrit, sur une surface polie, un point auquel n'est appliquee aucune force. Dans ce cas, on obtient les trajectoires en cher-

(3i = / dS = I sj^CLijdqidqj.