CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES. 45o
La recherche du motive me nl d?un systeme ho lo no me a liaisons inddpendantes du temps, sous Vaction de forces derivant dhine fonction de force U, peat se ramener a an probleme de geodesiques. En elTet. on obtieftt les trajectoires de ce mouvement en cherchant a rendre minimum Fintegrale
Cl — / \/ :> U -h :>. // v S a i ; da i dq / .
La fonction U est une fonction de q%, . . ., q/;. Considerons la forme quadratique des din'erentielles dqn
d$l = U -+- 2 It ) S atj dqi dqj = 2 by dqtdqj ; on sera ramene a chercher le minimum de l'integrale
(Po) JPo)
ce qui est un probleme de geodesiques.
/ dS±= ^bijdqidqp
dins JfD.\
188. Calcul de Taction le long d'une trajectoire. — D'apres le theoreme de Jacobi applique au cas actuel (liaisons independantes du temps et existence d'uue fonction de forces U), il suffit pour obtenir les trajectoires de connaitre une integrate complete W de l'equation
avec h — i constantes autres que ft, au <72, . . ., a^—i. Les trajectoires sont alors donnees par
r)rt\\ 15 >)ai dak-^-i ~ 1*
Exprimons qu'une trajectoire passe par deux points donnes (^i)o, ••• (qtc )o et ( qv ),, (£2)1, • • • , (qk)i', en appelant W0 et Wi les valeurs de VV en ces deux points, on a, pour determiner les constantes av et 6V, les equations
-0a^ = b> Ua^=b'> (v.= I, d'ou, en climinant les &v, les k — 1 equations,
pour determiner les constantes aw. Supposons qu'on ait ainsi determine une trajectoire joignant les deux points \\ et P4. La valeur de faction le long de cette trajectoire est Wt — \V0. I'our le dcmontrer. appe-
46o DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
Ions dW la variation que subit W quand le systerne, dans son mouvement reel le long de la trajectoire consideree, va du point q2, q/- an point q1-hdqi, q*-{- dq<>, q/,-hdqk. On a
dW 0\Y , r)W , fW ,
mais on a trouve que dans ce mouvement
Pi =
done
dqx r dq« dqk
dW , , V (JT >
1 <iS2
mais on a T = ; — et d'apres I'integrale des forces vives
2 dt-
dS — T
—r — i/2 U -+- 2/i dt v
done
dS
dW = 2T dt = dS = S/2U + ih dS,
et Taction le long de la trajectoire consideree est
-(Pi) rPt)
t\= s/2\J+2hdS = / rfW = Wj — Wo.
489. Proprietes geometriques des trajectoires. — On peut ctendre aux systemes que nous venons d'etudier les theoremes des n()S 299 et 301.
En suivant la voie indiquee par Beltrami (Memoires de V Academie des Sciences de Vlnstitut de Bologne, t. VIII, 1869, p. 54o), nous poserons les definitions suivantes :
Soit une forme quadratique
dS'1 = 2 cijj dqt dqj,
si Ton considere deux deplacements dS et oS correspondant a deux systemes de valeurs dq\, dq^: . . . , dqk et 8^1, 8^2; • . <>q/c des differentielles des parametres q, nous appellerons angle de ces deux deplacements
Tangle dS, 8S defini par la formule
dS SS.cos (<iS, 5S ) = Sa/y dqtdq /.
Deux directions dS et oS sont perpendiculaires quand on a
(7) 2dijdqi$q;= o.
