CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

Ktaut donnee une relation quelconque

F(qh q2, . . .. qk) = o,

nous dirons qu'elie definit une surface; les deplacements 8S efTectues sur cette surface seront caracterises par la relation

d¥\ dF dF (o) -j — oqi-h — oq»-h . . .-h - — Sqk—O.

dqy 1 (Jqi J dqk

Nous a\ons deja appele courbe l'ensemble des valeurs de qit q2, • • • , qk qui sont des fonctions donnees d'un parametre variable t. Quant t augmente de dt le point subit un deplacement dS defini par dq^, dq», . . . , dqk- Nous dirons que la courbe est orthogonale a la surface quand le-deplacement dS effectue sur la courbe est orthogonal a tous les deplacement oS efTectues sur la surface, c'est-a-dire verifiant la relation (8). Si Ton pose

dq, dq, dqk

~dt -dJ-q^ ~dt -qk>

T = Iz ctijq'i q) ; la condition d'orthogonalite (7) devient

dq\ 2 dq', * dq'k

Ces definitions c'tant posees, le tbeoreme du n° 299 se generalise imraediateme'nt comme il suit :

Si dans les equations des trajectoires

— - b — - b — - bk

o/i donne aux constantes a-i, «2, a^— 1 valeurs determinees, et

si ran fait varier b\, b<>, bk—i, dhine facon quelconque, les tra-

jectoires ainsi obtenues sont normales aux surfaces ayant pour equation W = const. Pour le demontrer, il faut etablir que tout deplacement Z(/\. r,q >. . . ., oq ic effectue sur W = const., c'est-a-dire verifiant

(10) - — 0 y , -j — oq^-h. . -5 — oq/-=o,

dq\ dq* oqk

est orthogonal au deplacement reel dqi, dq», . . ., dqk efl'ectue sur la trajectoire. En d'aulres termes, il faut montrer que cette condition (10) entraine la condition d'orthogonalite (9). Or eeci est evident d'apres le theoreme de Jacobi qui donne (n° 473)

<)\\ //f dq\ ' ' " * ' ,>k~~ 0qk

et, d'apres la definition meme des variables,/?, p,= Nous renverrons,

pour une etude d^taillee de ees questions, aux Legons sur la theorie des surfaces de M. Darboux (t. II, Chap. VIII).

490. Extension de Fidee de fonction de forces. Fonction de forces dependant des vitesses et du temps. — Nous avons, dans ce qui precede, examine le cas ou les forces derivent d'une fonction U dependant uniquement des coordonnees des points du systeme et du temps. Mayer a etendu cette notion de la facon suivante, en la rattachant au principe d'Hamilton (Mathematische Annalen, t. XIII, p. 20).

Posons

et soit W une fonction de tt des 3/< fonctions inconnues x^f^, zv de t et. de leurs derivees premieres x^^y'vi z'v • Supposons, comme dans le principe d'Hamilton) que les valeurs de xv. y\h zv aux instants tQ et t\ soient donnees, et cherchons ce que doivent etre ces fonctions dans l'intervalle t\ — to, pour qu'on ait

SX'(T

\\)dt = o,

pour toutes les variations possibles de xv, yv, zv. Un calcul identique a celui du n° 485 conduit aux 3^ equations differentielles du second ordre

„ <W d fW v v ~~ dxv dt <)x\t '

d\V d <AV

= oy„-dtoyS

„ dW ~- d r/\V

Ce sont la, rapportees a un systeme d'axes rectangulaires, les equations du mouvement d'un systeme de points libres de masse m,,

m», . . ., mn,

le point mv etant, a l'instant t, sollicite par une force Fv de composantes

[ X - — — — — 1 ' v dxv dt d.r'y '

VY^W d dW

I rW d d\Y

v dzv dt dz\, '

Mayer convient de dire que ces forces derivent d'un potentiel ou d'une fonction de forces W*