CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES
491. Probleme de Mayer pour le cas ou les forces sont interieures.
— Supposons que les forces du systeme soient toutes interieures, c'esta-dire resultent uniquement des actions des points du systeme les uns sur les autres. En se placant a un point de vue ties general, Mayer n'admet pas, comoie nous 1'avons fait dans tout le cours de cet Ouvrage, que ces forces interieures resultent uniquement des actions mutelles des points deux a deux, actions qui sont egales et directement opposees : il suppose sen lenient que ces forces interieures satisfont a chaque instant aux six conditions d'equilibre d'un corps solide :
(2) 2x"=o> EY"=o' 2z"=o'
(3) ^ 0 -v - Yv) = o, ^ Ov Xv - Zv) = o, ^ Yv - Jv Xv) = o ,
de telle facon que, si le systeme etait solidifie, a un instant quelconque t, les forces interieures se fassent equilibre. Cela pose, Mayer resout le probleme suivant :
Trouver les expressions les plus generales des forces interieures Xv, YV3 Zv, agissant sur un systeme en mouvement et remplissant les deux conditions suivantes : i° elles derwent d'une fonction W; 2° elles satisfont a chaque instant aux six conditions d'equilibre d'un solide.
Nous ne pouvons pas reproduire ici l'analyse de Mayer; nous nous contenterons d'enoncer les theoremes qu'il a obtenus :
I. On obtient. les expressions les plus generales des forces (i) satisfaisant identiquement aux conditions (2), en prenant pour W une fonction arbitraire du temps et des differences.
x., x1} yv — yiy Zv — Z\
X\ , JKV JKl 5 zv — zl
II. On obtient les expressions les plus generales des forces (1) satisfy /sunt identiquement aux conditions (3), en prenant pour W une fonction arbitraire du temps, des distances des points du systeme a r (irigine, de leurs distances mutuelles, et des derivees premieres de ces deux sortes de distances par rapport au temps.
En combinant ces deux theoremes, on a la reponse au probleme propose :
III. On obtient les expressions les plus generales des forces (1) satisfaisant aux conditions (2) et (3) en prenant pour W une fonction arbitraire du temps, des distances mutuelles des points du systeme et firs derive'es de res distances mutuelles par rapport au temps.
Le mouvement du centre de gravite estalors rectiligne et unijorme et le theoreme des aires s"* applique hla projection du mouvement sur chacun des plans coordonm s.
IV. Pour quHl existe une integrate des forces vives, c' est-a-:lire pour que
V ( xv.r; -+- \v -+- zv z',)
s il la derivee totale par rapport au temps d'une certdine fonction des coordonne'es, de leurs derivees et du temps, il faut et il suffit que les forces derivent d'une fonction W ne contenant pas t. U integrate
des forces vives est alors
Quand la fonction W remplit les conditions du theoreme III. sans contenir t, cette integrale s'ecrit
[JLV
oil /-jxv designe la distance des points x^ jKa? sa et xv< rv, zv, et r'„v la derivee de r^v par rapport au temps.
Prenons, par exemple, un systeme forme de deux points materiels situes a une distance r Tun de 1'autre.
Les actions mutuelles de ces deux points sont soumises au principe de 1'egalite de Taction et de la reaction. Si Ton veut de plus qu'elles derivent d'une fonction W et que l'integrale des forces vives existe, il faut prendre, pour 1'expression de Faction mutuelle R,
rW d d\\ ~~ dr dt dr' '
ou, ce qui est la m^rae chose,
r dt \ dr' J
ou W est une fonction des seules quantites r et r = ^ •
'Nous renverrons egalement, sur ce sujet, a une ]\ote de Maurice Levy (Comptes rendus, t. XCV).
