V. — MULTIPLICATEUR DE JACOBI

Nous donnons, dans ces derniers paragraphes, quelques indications sommaires sur le inultiplicateur de'Jacobi et les invariants integraux de Poincare. iNous adopterons le mode d'exposition suivi par G. Kcenigs dans ses lecons au College de France, de facon a faire connaitre en meme teni|)s les importants resultats obtenus par ce geometre (Comptes rendus, decembre 1895 et janvier 1896).

492. Definition du multiplicateur. — On sait qu'etant donne le systeme d'equations diflerentielles

. . dx\ dx <> dxn

(,) T7= x7=--= XT'

011 les X, sont des fonctions des variables appelle inte-

grale toute fonction 0 (xu . . ., xn) qui reste constante en vertu des equations differentielles. De la sorte, I'equation suivante

du = - — dxi h — ; — dx» -h. . . H — ; — dxn — o, ox\ 0x2 ' axn

qui est lineaire par rapport aux differentielles dx, doit etre une consequence des Equations (1). La condition necessaire et suffisante se traduit par I'equation

X— -hX— 1 X d% -0

1 dx\ ~ 2 dx-j ' ' ' " n dxn

On designe liabituellement par A(0) le premier membre de cette equation. Si Ton connait (n — 1) integrales independantes entre elles, 01? 02,

toute autre integrale est fonction de celles-la et, reciproquement, toute fonction de 0,, ft2, est une integrale. D'apres cela, si 0

designe une integrale quelconque, le determinant fonctionnel

D (ft, 0,, .... ()„,)

D (X{, X.2, . . . , Xn)

est Qui, et, reciproquement, si ft annule ce determinant, c'est que ft est fonction de 0l3 0, . . ., 0„t et, par suite, ft est une integrale,

Kn consequence, quand on connait nn systeme de (n — 1) integrales independantes, I'equation (?.) peut etre remplace'e par I'equation

,ox D(0,0i,0a ft,-,)

D(xu x«, . . . , xn)

appei.l. — 1 raitc (le Micanique. 11. 30

II faut cn conclure qu'il existe une fonction M telle qu'on ait Tidentile

D(a?i, Xo.

lacobi a donne le nom de multiplicateur a cette fonction M.

' D(8, 0,, 0rt i)

Dans le determinant

dti

respondant a • On aura

ox i

9 designons par A,- le mineur cor-

*n) ^-J <tef

en sorte que I'identite (4), ou 0 est une fonction quelconque de a?4, x->,

equivaut aux ai relations

i93. Equation du multiplicateur. — En partant de ces relations, il est aise de former une equation differentielle que verifie la fonction M et d'oii les integrales supposees connues 0l5 62, 0/;, se trouvent eliminees.

Jacobi a remarque en effet que les determinants A, verifient Tidentite

Pour demontrer Pidentite (6), considerons le determinant

dxx

dx\

dxn

dxi

dx-2

dxn

ou u-2, . . un sont n constantes quelconques. En developpant ce determinant, on aura

ce qui prouve que A,

D — Ai ux ■+- liu* -+dD

das

f- ln un,

Observons maintenant que x>.

n'entrent dans A* que par les derivees ~ *3 a Texclusion des derivees ^

dxo 0x>

Posons, pour abreger, — — = nous aurons

OXfo

Oli yr\ dxi Zu

01 1 daa°

day ft Ox

ft dxidxQ