CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

(Tou

—d dxi M—d «J (Jciix/j dxx dxg

La somme S, qu'il faut prouver etre nulle, est ainsi une fonction Iineaire

homogene des derivees secondes f \a ; de plus, i et (3 sont toujours dis-

ox 1 00c p

tincts. En groupant les termes semblables, nous aurons done

Le theoreme sera demontre si nous faisons voir qu'on a

Or le premiers membre de Pequation (7) s'ecrit encore d*- D D

Si nous conside'rons d'autre part dans D la premiere ligne et celle ou figure la fonction 0a, e'est-a-dire la (a-f- i)ieme ligne, puis les colonnes de rang i et 3, les termes qui se trouvent a Pintersection de ces lignes et de

ces colonnes sont les suivants : it;, &<b, - — = aa ,-, - — = ay 3.

1 dxi ' dxQ

II resultc d'une propriete bien connue des determinants que D pourra s'ecrire sous la forme

D = R(uia0Ljp— upaa/)-i- R,,

ou R ne depend plus des termes Ui, up, aa,3> az,t et ou Ri contient ces termes lineairement. II suffit de difTe'rentier pour trouver

du i aa^ p dupda^ /

d'ou la formule (7) et le theoreme exprimc par l'identite (6).

Si Ton rapproche alors l'identite (6) des formules (5), on voit que la fonction M verifie l'identite

Telle est l'equation du multiplicateur. On donne par extension le nom de multiplicateur a toute solution de ['equation (8).

II est aise de prouver le theoreme suivant :

Le quotient de deux multiplicateur sy c'est-a-dire de deux solutions quelconques de Inequation (8) est une integrate.

Soienl, en effet, M et M' deux multiplicateurs. L'equation (8) se developpe ainsi

on aura de merne

Multiplions par — M', M et ajoutons; il viendra

ou encore

Done ~ est bien une integrate.

Reciproquement, le produit d un multiplicateur par une integrate est encore un multiplicateur.

Remarque. — Si la somme L> = est nulle, M = i est un multi-

plicateur.

494. Invariance du multiplicateur. — II importe, en vue de ee qui va

suivre, de se rendre compte de l'effet d'un changement de variables. i\ous allons ainsi etre amene a reconnaitre que tout multiplicateur est un invariant, mais un invariant relatif, en ce sens que si on le multiplie par le determinant de la transformation, il constitue un multiplicateur pour le nouveau systeme de variables.

Designons par >l5 y2} )'n les nouvelles variables et introduisons

pour un instant une variable auxiliaire t, dont la differentielle dt egale la

dx-

valeur commune des rapports • Les equations (i) s'ecrivent