CHAPITRE XXV. - EQUATIONS CANONIQUES

On aura alors

dyi dyi dxx dyi dx» dyi dx„

~dT ~ dx^ ~df ~^ dxi ~dt ' "' 71x7, ~dT

et, cn tenant conipte des equations (1)',

fyt v tyi dyi

Le systeme des equations diflerentielles esi done devenu

, N dy\ dyi dyn

(,0) t7= yT= ••• =T7'

ou l'on a pose Yf = L,(yi).

Observons du reste que la fonction A(0) est une expression invariante. On a en efTet

ma is

o/0 db dyi d§ dyi d§ dyn V ^P ^Q

dxi dv\ Ox 1 dy* dxi dy 1 vient done

n dxi ~ Zj dxi dyQ '

. — dxi dyp —J v dyp

A.insi A(0) peut se representer au moyen de r, en appliquant aux equations (10) la regie qui a permis de construire A(0) au moyen des equations (1). Observons que ceci tie serait pas vrai si, au lieu de prendre les Y, egaux aux expressions A( r,-), on les prenait simplement proportionnels a res quantites.

Ceci pose soient 0], 02, .... 0«— 1 un systeme de (n — 1) integrates independantes. 0 une fonction arbitraire et M0 le multiplicateur qui verifie I'identite

D( Xi: Xo, . . . , X,i )

Ope'rons an changeinent de variables; on aura, d'apres une propriete classique des determinants fonctionnels, ji, v->, . . . , yn etant les variables oouvelles,

\)( 0. 6j 0„ , ) DM 0. 0, §n-\ ) n< ^1, x% Vn)

D( ),,)',. \„) ~ !)(./;,, ./>. vn) l>(r1;.r2; . . . , y„ ) '

/j;o DYNAMIQUE DES SYSTEMES.

L'identitl (il) nous donne done

ce qui prouve que, avec les nouvelles variables, la fonction

est un mulliplicateur.

Soit alors M un multiplicateur quelconque pour les variables <rl3 x>

xn, et designons toujours par Mo le multiplicateur de l'identite (u). On a, comme nous l'avons demontre,

ou X une integrale; nous aurons done

D(a?,, x2, ...yXn) Dp,, x2, . . ., xn) .

Mais puisque M'0 est, ainsi qu'on vient de le prouver, un multiplicateur relatif aux variables yu 72 yn] puisque, en second lieu, X est une integrale, M'0 X est un multiplicateur pour les variables yit ya, . . . , yn.

Done enfin, M ^'ri) 00 ' Xn\ est un multiplicateur pour les nou-

\elles variables. De la ce theoreme :

Si M est un multiplicateur pour les valuables Xi} x*, . . . , xn, le pro-

d.uit de M par le determinant fonctionnel — — 1 ' ' ' ' ' n ^ est un multiplicateur pour les nouvelles variables y\, y», . . ., yn,

Ce theoreme est la base de toute theorie du multiplicateur.

495. Usage du multiplicateur. — Supposons que Ton connaisse k integrales independantes 6i, 02, 0^; prenons n variables nouvelles 71,

72, y,i parmi lesquelles les k dernieres seront liees aux x par les formules

fn-k+X = 6l, 7"-^'+2 =02, . • • , yn = Ox-.

Les equations difFe'rentielles vont se simplifier, car on a maintenant Yt = \(Vi) — o, si t> n — k. Nous aurons done les equations suivantes :

<0'i ^Ts dyn k dyn-k+l dyn Yt Y2 Y-n—k o o