CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

Nous pourrons alors reduire ce systeme-aux n — k — I premieres equations

a la Condition de regarder yn—k+i, y,i-k+i, • • fn comme des constantes numeriques.

Si l'on connaissait au debut un multiplicateur M avec les variables x,

D ( v oo o oo ^

le produit M'=M — ^ — ' " ' ' ' ' ' ' — —s sera un multiplicateur avec les

D(yi, 7-2, • . r„) variables y, en sorte qu'on aura

^(M'YQ

ainsi, M', ou yn—k+u yn—k+n, . . . , yn sont regardes comme des constantes, est un multiplicateur pour le systeme reduit (12)

•49G. Dernier multiplicateur. — Supposons, par exemple, que Ton connaisse (n — 2) integrates, en sorte qu'il ne manque plus qu'wne integrale pour que le probleme de Fintegration soit acheve. Le systeme (12) se reduit a l'equation unique

dyx dy2 Yi Y2

ou encore

Si Ton connaissait un facteur integrant fx de cette equation, on obtiendrait la derniere equation finie qui manque en ecrivant

Yoflfj! — Y{dyo) = const.

Or, L'equation (i3). qui se reduit ici a

exprime que M' est un pareil facteur integrant. De la le nom de dernier multiplicateur donnee par Jacobi a cette fonction M'.

Ainsi la connaissance d'un multiplicateur permet de limiter Fintegration du probleme a la recherche de (n — 2) integrales; une simple quadrature perrnettra ensuite de former la derniere equation qui manque.

i'.»7. Exemple. — Dans la pratique, pour profiler d'integrales connues, il sera naturel d'eliminer certaines des variables a Taide de ces integrales.

Gomrne il importe d'arriver a un resultat precis, nous presenterons cette elimination sous la forme suivante :

Soient %n—k+u &n—k+z, • les k variables que Ton veut eliminer en

profitant de k integrales connues, 6t, 82, . . ., 0/ ; cette elimination revient a faire le cliangement de variables :

fn-k-hi == 81(^1, -£-2, " ^»)'

JK»= 8*(a?i, ^2, • • •, xn).

Nous admettons, il est vrai, que les A- dernieres equations sont resolubles par rapport aux k variables xn—k+i, Xn—k+z, ••• xn, e'est-a-dire que le determinant fonctionnel des k fonctions 0, par rapport a ces variables, n'est pas nul. Or cette hypothese est legitime, attendu que si tous les determinants a k colonnes tires du Tableau

()X\ dx»

dx 1 dx*

~Jx~n

dx~n

dxn

etaient nuls, les integrales 6/ seraient liees par une relation; elles ne

seraient pas independantes. Un au moins de ces determinants n'est pas nul

et I on peut supposer que ce soit —

\xn— /--4-1, • • • 3 Xn)

Observons meme a ce propos que le determinant fonctionnel

D(^,72, D(yi,.rs

■ ■ J Xn )

qui, eu egard a la forme

est l'inverse du determinant particuliere des equations (i4); se reduit precisement au determinant

D(xn.