CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

Ceci etant, avec les nouvelles variables rt y*} yn: les equations

difTerentielles deviennent

dj \ d)-2 dyn—k dy„—k+\ dy„ Y, \ , Yh-k " o ~~ 0

Observons que ) i, ) . . . , yn— k spnt les variables primitives Xj, Xo, xn—k\ Yj e'est done A(.ri), e'est-a-dire Xi, mais Xi ou 1'on a, au moyen des equations remplace les variables xn—k+i, . . . , xn par leur valeurs

en fonctions de xu a?2, . . . xn—k et des variables nouvelles yn—k+u . . . , ynj lesquelles doivent etre regardees comme des constantes. Gonvenons de repr^senter par (X,) la fonction ou cette substitution a ete operee, et de meme pour (Xo), (Xj), . . . Nous aurons ainsi le systeme reduit

, . . dx\ dxo dxn—ic

(id)

(Xt) (X2) (Xn-kV

et d'apres le theoreme general, si M est un multiplicateur pour le systeme primitif d'equations difTerentielles, le quotient

D(8„ (J2, byfc)

D(Xn—k+i, • • • , Xn)

sera un multiplicateur pour le systeme reduit (i5)

Supposons, par exemple, que Ton ne connaisse qu'une integrale et qu'on veuille en profiter pour se debarrasser d'une variable xn: et reduire le svsteme d'equations difTerentielles. Si Qi est cette integrale et si M est un

multiplicateur dans le systeme primitif, -jt- sera un multiplicateut pour

le systeme qui resulte de l'elimination de xn, au moyen de Tintegrale. .lacobi a donne Pexemple suivant :

Soit l'equation difl'erentielle

dy

Si Ton introduit la variable y' — -j-^-i cette equation est equivalente au systeme suivant :

dy' =dy = dx

L'expression que nous avons designee plus haut par L> se reduit ici a zrro. Done, d'apres une remarque d<:ja faite, M = i est un multiplicateur.

Supposons alors que Ton connaisse une integrale

du systeme (17). On pourra tirer de cette equation y' en fonction de x, y, c,

Nous aurons alors le systeme reduit

dy

= dx.

pour ler| uel est 1111 multiplicateur; en sorte qu'en definithe

dy'

dy — y' dx ~d^ ' dp'

est une diilerentielle exacte, lorsque l'on y remplace y' par sa valeur tiree de 1'equation (18).

498. Application aux equations canoniques. — La theorie du multiplicateur trouve, dans les equations de la Dynamique, une de ses principales applications

Reprenons, en efl'et, les equations canoniques

(20) ^ = ^ = ...= ^S? =-^r ^U^dt,

dq,

dqi

dqn

dpi

dp,,

dH

dR ~~

-dH ~'

' - dH

Op 1

dp.

Opn

dqi

dq„

equations qui conviennent aux problemes de Dynamique, dans l'hypothese d'une fonction de forces et plus generalement aux problemes dits de variations, dans le genre de ceux qui ont ete traites au tome I.

II designe une fonction de qu q*, . . ., qn, p\, /?2, la quantite Q, on constate qu'elle est nulle. On trouve, en efl'et,

sLddc/iX dpi J dpi \ dqt

\ di

/ dt

Done, M == 1 est un multiplicateur.

Les equations canoniques (20) offrent ainsi un vaste champ duplications a la theorie du multiplicateur.

S'il n'y a pas de fonction de forces, mais si la force ne depend pas des vitcsses, il en est de meme. Dans ce cas, en efl'et, le systeme canonique prend la forme