CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES
ou Qi, Qo, ...3 Q/j sont des fonctions de </h q>, . .., qNl l. On constate qu'ici encore Q est nul et que 1 est un multiplicateur.
II faut in integrales pour que Integration puisse etre regardee comme acheyee; mais, a cause de Fexistence du multiplicateur 1, il suffira d'en connaitre {%n — 1) pour etre a meme de ramener le probleme a une quadrature.
Autres causes de simplification. — D'autres causes de simplification peuvent se presenter. Par exemple, si la force \ive et les forces ne dependent pas explicitement *du temps, on pourra dans les equations (20) [ou (21) selon le cas], mettre de cote la derniere equation, celle qui contient la difierentielle du temps. Le svsteme des ( 2 n — 1) equations restantes admet le multiplicateur 1. Lors done que Ton connaitra 2/1 — 2 integrales, on aura une (in — i)icn»e equation finie par une quadrature. Quant au temps une fois les variables ql} q-2, . . • , qn, Pu P*-, • ■ • , Pn, exprimees en fonction de Tune d'elles et des (in — 1) constantes d'integration, on aura une relation entre la variable independante et le temps par la quadrature.
dpi
S'il existe une fonction de forces independante du temps, on connait une des (in — 2) integrales qu'il suffit de connaitre; en sorte que, dans ce cas, il suffit de connaitre (in — 3) integrales autres que celle des forces vives, pour etre a meme d'achever completement le probleme. Si n = 2, par exemple, il suffit d}une integrale autre que celle des forces vives.
Ainsi, dans le cas des forces centrales, cette integrale qui decide, en quelque sorte, de la possibilite de Tintegration complete du probleme, e'est l'integrale des aires.
Mais il est encore une source de simplifications dont l'importance a ete bien mise en lumiere par Jacobi.
Supposons que l'une des variables, qn par exemple, ne figure pas explicitement dans H; on a alors
et. en vertu des equations (20),
dqn
dt
D'ou, d'abord, l'integrale pa= const. En outre, puisque ^/, ne figure dans les equations que par sa dill'erentielle, on peut mettre a part ['Equation
et se borner aux equations
rJll
dp i
<lq„-\
dp
fJ\\
dpn-i
dqn-
au nornbre de in — 3 et pour lesquelles i est un multiplicateur ; pn y represente une constante arbitraire. II suffira de connaitre (in — 4) integrales pour etre ramene finalement a une quadrature; et comme H est une integrale, on voit qu'il suffira de (in — 5) integrales autres que celle des forces vives ou que pn = const., pour que l'integration du systeme (24) soit assuree. Uue fois ce systeme integre, l'equation (23) fournira par quadrature une relation entre qn et les autres variables, et enfin une derniere quadrature (22) fournira la relation entre le temps t et les variables geometriques.
Ainsi, en resume, dans ce cas, la connaissance de (in — 5) integrales autres que celle des forces vives ou que pn= const, assure l'integration complete du probleme.
Les divers cas du mouvement d'un corps solide que l'on a pu integrer jusqu'a ce jour presentent des applications de cette remarque.
Considerons, par exemple, le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, avec une fonction de forces independante du temps. La position du corps depend des trois angles d'Euler 8, 9, 6 (voir dans ce Tome, p. i5o et suivantes); or, la force vive ne contient pas <b explicitement ; si done la fonction de forces n'en depend pas non plus, on sera precisement dans le cas traite tout a l'heure. L'angle <i y tient la place de la variable qn
et l'integrale pn = const, dependra de la derivee -~- Comme ici in — 5 = 1,
il suffira de connaitre une integrale autre que pn— const., et autre aussi (jue l'integrale des forces vises, pour que le probleme soit suceptible d^ne integration complete.
Tel est le cas d'un corps pesant de revolution suspendu par un point de son axe.
Pareillement, e'est pour avoir trouve les conditions d'existence d'une integrale nouvelle, que Mm° Kowalewski a pu parvenir a resoudre com pi etement un cas nouveau du probleme d'un corps pesant mobile autour d'un point fixe.
C'est ce qui explique que, dans ce genre de question, tous les efforts sc portent sur la recherche d'une integrale nouvelle. Cette recherche est souvent indirecte, en ce sens que Ton essaye de s'imposer a priori une condition determinee pour l'integrale, comme d'etre algebrique ou uniforme, et que l'on s'efforce de particulariser les donnees de la question pour que les conditions d'existence d'une pareille integrale se trouvent realisees. Cette methode a quelquefois reussi : le cas de Mme Kowalewski cn fait foi.
