CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

499. Application. Probleme de M. de Brun. — Les molecules d'un corps solide so.rU attirees par un plan fixe proportionnellemenr. a la distance; trouver le mouvement, en supposant que le corps a un point fixe dans le plan attirant.

Soient 0 le point fixe, Ox, Oy, Oz les axes principaux d'inertie relatifs a ce point : OM la perpendiculaire elevee en O au plan fixe et y, y', Y" 'es cosinus directeurs de cette perpendiculaire. La mase (u, de coordonnees x, y, z, est souniise a une force egale a Kij. (y# -+- y'y -f- y".z ), dont y, y', y" sont les cosinus directeurs. En consequence, le moment resultant des forces appliquees, pris par rapport a Taxe Ox, sera

v-y K y"( y Yy -£ f z ) — p.* k y'(y * r> -+- y" - )

= KyY.CG-b),

et de meme pour les moments relatifs aux deux autres axes Ojk5 0,z. Les equations d'Kuler s'ecrivent done

dt

-kt'y")

| dt

-Ky"y),

dt

- B)Cp?

— K yy');

on a, d'ailleurs,

(26) =rY-91f, ^--^.T'-'T' ^-1T-PX,:

On possede ainsi six equations difierentielles qui definissent p, q, r, y, y', y" en fonction du temps. Supposons que Ton ait integre ces equations. Designons par 0, 9, 6 les angles d'Euler, en supposant que 1'axe fixe Ozi est perpendiculaire au plan attirant et que les deux autres axes fixes Oxi7 OjKi sont dans ce plan; on a, comme on sait,

y = sin 9 sinO, y'= cos 9 sinO, y" = cosO,

en sorte que les angles 9, 0 seront connus en fonction du temps. Quant a Tangle -l, on le deduira par quadrature de 1'equation

(27) /- = -V cosO -+-

II suflit done d'integrer le systeme des equations (25) et (2G).

On pent laisser de cote le temps qui sera donne par une quadrature, puisqu'il ne figure pas explicitement dans les equations (25) et (26). Nous n'avons des lors a nous occuper que des cinq equations

A rip B dg C dr

(B-C)(ST-KyY0 ~ (G - A) {rp-W ■;"■;') ~ (A — B) ( pq — K 77 ) dj dj Of

- rf—qf ~~ p-"— n ~ q-( —p':'

lesquelles admettent un multiplicateur egal a l'unite, comme on le constate aisement. II suffira done de connaitre quatre integrales pour etre ramene aux quadratures. Or, on connait deja trois integrales : celle des forces vives qui s'ecrit

(29) A.p--+- B q- -+- Crs-f- K(Af + B-'--*- C*;^) == /, celles des aires

(30) Ajoy + Bf/+Cr1'"=/,) et ensuite

( 3 1 ) Y2 -h y'2 h- y"'2 = const. — 1 ;

/ et /] sont deux constantes arbitraires. La constante de l'equalion (3i) doit etre prise egale a 1.

Si done on connait une quatrieme integrale, le probleme s'acheve par une quadrature. Or, en efTet, on verifie que

( 32 ) A9-/?2 -f- B2 q*- *+* C2 r2 — K ( BC -;2 + G A f* AB f% ) = I,

est une quatrieme integrale.

Le probleme se ramene done aux quadratures. En partant des formules precedentes, il serait aise de prouver que Jes quadratures portent sur des diflerentielles totales algebriques. G'est le resultat auquel a etc conduit M. Kobb dans un article insere au Tome XXIII du Bulletin des Sciences mathematiques. II serait interessant de faire une etude plus appronfondie de ces integrales, mais ce n'est pas la place ici

On doit a Stekloft" (Compies readus, t. CWXV. 1902.) cette interessante remarque que les equations du probleme de M. de Brun peuvent etre ramenees aux equations du mouvement d'un corps solide dans un liquide indelini donnees par Glebsch. Tous les resultats trouves dans l'un de ces deux problemes peuvent done etre etendus a Tautre.

(l) M. de Brun a introduit, dans son expression de la force, une fonction de la distance au point fixe; mais cette fonction disparait naturellement des equations et n'a aucun role.