Integrales. — Considerons le systeme d'equations

dxx dxt dxn y

ou Xi, X->, . . . , X„ sont des fonctions de t, X\, x-2, . . . , xn.

.Soil 0x(t, xu . . ., xn), 82(*, xu . . ., xn), . . ., tin(t, xu . . ., xn) uii sysleme de n integrales independantes ; pour chaques systeme de solutions des equations (33), 6t, 02, Bn ont des valeurs constantes at, ... o.n

et les divers systemes de solutions des equations (33) se diflerentient par les valeurs de ces constantes.

Soient xu x», . . ., xn ; x\, x'2, . . ., x'n deux systemes differents de solutions ; si Ton designe par X', , X'2) . . . , X'n ce que deviennent Xi, X2, . . . , Xn quand on y remplace les x par les x\ les variables x' verifient le systeme d'equations

/ o / \ dx \ dx * . dxn v,

(34) -rfT = x" — = X2' -df = Xn-

Si Ton considere a la fois les systemes d'equations (33) et (34), le systemes ainsi obtenu admet des integrales X (xt, x*, . . . , xn ; x\ , #'2, . . • 3 x'n-> 0 ou figurent les deux series de variables xu xn, ; x'u x'n. Nous

dirons d'une telle integrale qu'elle depend de deux solutions diflerentes du systeme (33). Prenons un exemple simple, celui d'un point attire par un centre, dans un plan, proportionnellement a la distance. Les equations du probleme s'ecrivent

dxx dxo

dx\ , dx'* 0 ;

~ir=x-i ~dt~~a'Xu

oil X{, x\ sont les coordonnees rectangulaires du point. Les integrales de ce probleme seront, en general, des fonctions dependant de deux solutions du systeme unique

dxy dx* — — = x» , — — = — a- x i .

dt ' dt

< >n peut, de raeme, concevoir des integrales dependant de trois, quatre ou d'un plus grand nombre de solutions.

Un cas interessant et important est celui des integrales dependant de plusieurs solutions infiniment voisines. Voici ce qu'il faut entendre par l;i :

Soient xu x*, . .., xh un systeme de solutions des equations (33) et x i ■+- fix i , x2-\-(>X2J xn-\-hxn un systeme de solutions infiniment

voisin du premier. On aura

— — L = Xf(jC, -h oxi,^2h- f>-^2, • a?*-*- ox n) ( i = I, n),

en tenant compte des equations (33), il viendra done

Ges equations, qui permettent d'etudier les solutions voisines d'une solution donnee, ont ete introduites par Poincare, qui les appelle les equations aux variations des solutions du systeme (33).

Considerons maintenant une fonction homogene en oxi, ox.,, oxn, dont les coefficients seront des fonctions de xi} x-2, xn et de t\ une

telle fonction sera une integrate dependant des solutions voisines xt et Xi-h $X[, si sa derivee totale est nulle en vertu des equations (33) et (35). Soit /cette fonction, on a

df df ^ df dxi ^ df d oxt

dt ~~ Tit ~'~2-k dx~i dt ^Jd(^xi) dt '

d'ou la condition

" Vv ■>/ .v^/^,r,=o;

d(oXi) dxk

cette condition est necessaire et suffisante pour que / soit une integrale; elle doit avoir lieu quelles que soient les variations Bxi et quels que soient les Xi et t. Supposons en particulier que les fonctions X ne dependent pas explicitement de t; il est aise de montrer que, si dans la fonction / on remplace les Sxt par les quantites X/, la fonction F ainsi obtenue est une integrale. La fonction f (t, x1} . . . , xn \ oxi7 . . . , Bxn) est, en effet. de venue F =/ (t, . . . , x„ ; Xi, . . . , Xn). On a done

dF df y df dxt y df ^ dt ~~ dt "f '2d dxi dt ^~^4 dX~i dt 1

mais

dXi dXt dxk

~di ~ Zdlxk ~dt ~2dd~x~k *'

on a done