CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANON1QUES

et ceci est nul, car le second membre est ce que devicnt le premier membre de (36) quand on y prend Ies oxi proportionnels au\ X/. Ainsi

—7- — o, F est une integrate.

501. Theorems de Koenigs. — Prenons, par exemple, la forme lineaire

/ = Et ox1! -f- So ox> -+*... -h En ox,n

oil Ies Z, sont des fonctions de x{j x*, . . ., xn et de /.

Pour exprimer que /est une integrate, nous ecrirons que l'on a

n n df d'E; -u <s dXi

dt — dt Au dt

ou encore

ce qui s'ecrit encore

(38) a(2xf:

— cx,-X/0^)^o.

L'equation (38) se prete aisement a la demonstration d'un elegant theoreme. du a Kcenigs (4)3 qui etablit un lien entre les integrates lineaires telles que / et la reduction au type ranonique d'un systeme quelconque d'equations difTerentielles.

Les formes lineaires de difTerentielles telles que / ont ete Pobjet d'e'tudes nombreuses, et PfafT, notamment, s'est propose de les ramener a certains types canoniques (voir Darboux, Bulletin des Sciences mathematiques, t. XVII, 1882, p. i6; Golrsat, Lecons sur le probleme de Pfa()\ Paris, 1922), et les travaux de E. Cartan.

On demontre en effet que toute forme lineaire de difTerentielles peut Stre ramenee a I'uu des deux types

( A ) zityi-h z, 0/0 + ...+ ^ orp — By,

(B) zityi + ...+r'zptypi

oil les variables y, r(, yp, s1} z^ Zp, sont independantes entre elles. L'obtention de ces formes reduites exige Tintegration de certaines equations difTerentielles pour lesquelles nous renverrons au Memoire de Darboux.

('j Comptes rendus, decembre 1890.

APPELL. — Traite de Mecuniquc. It.

Supposons, des lors, qu'on ait applique le procede de reduction a la forme /, en regardant t comme une constante, et que Ton soit parvenu, par exemple, au type (A), qui contient ip -h i variables.

II pourra arriver que ip -+- i soit moindre que rc; alors en adjoignant a y, yu y*, . . . , yp, Z\, z», . . . , zp un nombre de variables u±t . . ., uf/ egal a q — n — ip — i, on pourra prendre pour nouvelles variables les y, les z et les u.

Le systeme des equations difTerentielles deviendra avec ces variables

dy dyx *dy p dz%

dz-> dzp du\ duq ^

Z2 Zp Ui u7

oil Y, Yi, Yp, Zj, Z2, Zp, Ui, \Jq sont des fonctions des

variables y, jki, -Zi, . . ., u{, . . . , uq et

La condition (38) devient, puisque Ton a ici f =^^ztZyt — by,

(4o) 8^2^Y^Y^) +2(Zi'6->'i Yf 8s/) = °-

Posons

i r'Cv'

il viendra

(42) 8H -^-^(Zidyi— YiOZi) = o,

d'ou, puisque ceci doit avoir lieu quels que soient les 5,

on aura ensuite

Le systeme des equations (3g) a done la forme suivante

w 'i='lv,/),

et puis

(45) ^T-Ul' ^F-U^