CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES
On est ainsi ramene au systeme canonique (43), suivi du systeme des equations (44 ) et (45 )•
Si, au lieu du type (A), on etait arrive au type (B), on eut procede de meme, on aurait eu la condition
Fosons
il viendra, comme plus haut,
Lt = — — , Yf = -h — >
dyt dZi
en sorte que la fonction H verifie ici Tequation
dE
c'est-a-dire que H est homogene et du degre i d'homogeneite par rapport aux z.
Le systeme des equations differentielles devient alors
dyt dE dzi dE
U6) di—dzt> ~dt= Wi avec
^> , $-uf.
On demontre aise'ment que si n est impair et si /est une integrale quelconque, lineaire par rapport aux variations, c'est le type (A) qui est atteint et n = 2p -\- i; si au contraire n est pair, c'est le type (B) et n = ip. Ainsi, en general, le systeme complementair'e des equations (45) ou (47) n'existe pas, et l'on est ramene a un systeme canonique avec ou sans l'equation (44) selon la parite dc n.
Placons-nous dans le cas de n impair, et supposons que l'on donne l'in-
tegrale ^j^E;&r;, qui, par la reduction au type canonique, se reduit a
On aura en particulier, si les 3/ sont independants de la variable t,
^ S,- dxi = ^Zk dyk — dv,
ou en se rappelant que
dxi = Xi dt, dyk — -+- dt, dy = — H h-^T Zk dt,
azk
Ainsi, la somme ^EiX/ se reduit justement a la fonction principale H.
Si H est independant du temps, on sait que H est une integrale.
Tel sera le cas si X et les 2 ne dependent pas du temps.
On remarque que, dans tous les cas, l'equation (44) se reduit a une simple quadrature.
Le cas de n pair donne lieu a des remarques toutes semblables.
502. Theorems de Poisson. — La consideration des integrales dependant, non plus de deux, mais de trois solutions infiniment voisines, conduit par une voie nouvelle au theoreme de Poisson, ainsi que Poincare l'a montre.
Considerons en effet un systeme canonique dqt dW dpi dH
Soient />i, p», . . • , Pn, qi, q-2, ■ • • , qn un systeme de solutions et + opi? qt-hoqi] /><■-+- 8 '/>,, qi-^-Z'qj deux systemes de solutions voisins du premier.
La forme bilineaire.
f ^^(opioqi—oqiopi)
est une integrate. On s'en rend compte en partant d'une identite generate concernant les formes lineaires de differentielles. Soit
une forme lineaire de differentielles; posons de meme puis
Prenons trois systemes de differentielles, d, o, o' ; on a identiquement
( 5o ) de §§' 80 g' d -+- o 0,/£ = o.
