CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES
Ccla revient a constater que
,/(563 — o'ea) -4- o(o'e(/— d&8>) ■+■ o'(rfes — serf) = o,
ce qui est une identite.
Prenons alors pour 65 la forme ^^/>/o<7i; on voit que Ton a
f=Goo',
d'ou, d'apres l'identite (5o),
— d/ = — d%^' = 0' 6rfg — 68^5'.
Or on a
^rf8=?^(^Q^gt — dqiopi) = — 8H 8*, 8 f/5 = — 0' II dt,
si Ton suppose que les differentielles d correspondent a une variation de la variable t, en sorte que les equations (49) soient satisfaites. On a ainsi
— df= S'0(/6— md?y=— 5'oH dt -H oo'H ht = o.
Le theoreme est done demontre.
Soit reciproquement
une forme lineaire integrate et posons
oqi=sQh o'=zPh
ou £ designe une constante infiniment petite;je dis que pt-h o/>z, qt-\- o'qt est un systeme de solutions voisin du systeme de solutions pi, qt. On a en eflet, par hypothese,
e'est-a-dire, en remplacant ^j-^> par leurs valeurs (49),
dt dt
Cette relation doit avoir lieu quels que soient les opi et les o^, ; il vient done
equations qui s'ecrivent, en remplacant Q/, P/ par les quantites propor tionnelles o qt, o />,.
d tV N <)lU V V ')lU * \
et pareillemcnt
dt
c'est-a-dire que les oqi, opt verifient les equations aux variations des equations (49)-
On deduit de la la consequence suivante :
Soit q«, qn, pu Pir ■••> Pn, 0 une integrale des equa-
tions (49)- U est clair que o<l> est une integrale dependant de deux solutions voisines ; or
done, d'apres le theoreme precedent, o qi = z — i o pt = — £ — sont des
solutions des equations aux variations.
De meme, avec une autre integrale q>1} o qt= £ - — } opi = — s - —
op i dq i
seront encore des solutions de 1'equation aux variations.
Mais on a vu que la somme
^(oqiVpi — t'pt'Vqt)
est une integrale; done
^ / d<P d<&) d& ^<I>| \ j£d\dpi dqt dqt dpt J
Nous terrainerons en faisant connaitre la definition des nouveaux elements que Poincare a introduits sous le nom diinvariants integraux.
503. Invariants integTaux. — Reprenons le systeme d'equations difte-
dx •
rentiellles (33), — — = X/; convenons de regarder xt, x%, xn comme
les coordonnees d'un point dans un espace a n dimensions et t comme une mesure du temps. Les equations (33) definissent une famille de courbes (G); une courbe et un mouvement sur cette courbe sout definis si Ton donne la position x\, x?>, . . ., x% du mobile a une epoque t°. Appelons P° cette position initiale et P la position occupee ensuite par le mobile a l'epoque t.
