CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES
Imaginons que Fori fasse decrire a P0 un certain espace a k dimensions E£ ; le point P decrira lui-meme un certain espace a k dimensions E/t. Par exemple, si le point Po decrit un arc de courbe EJ, le point P decrira un autre arc Ei.
Arretons-nous d'abord a ce premier cas; convenons de designer par le symbole S les variations qui correspondent au deplacement de P sur Fare Ejt ou, ce qui revient au meme, de P° sur Pare E?.
Considerons une expression lineaire de la forme
Si Zx y -+- S2 ox-z -+-...-+- Ey, $xn ,
ou les S/-sont des fonctions de r(, x», . . . , xn et de t, et prenons Pintegrale
[ = / Ei §Xi -h E2 0x2 + ...+ S,, hxn
le long de Tare E,. Les variables x\, Xo, . . ., xn sont des fonctions de t et des coordonnees initiales x% x%, x^ du point P°. Quand ce dernier point se deplace sur Pare E?, les x? sont fonctions d'un parametre X qui prend les valeurs X0, Xj aux extremites de Pare. Les xt dans l'integrale I sont done aussi des fonctions de X et de t sur Pare Ei5 t restant constant pendant l'integration.
Or faisons maintenant varier le temps t \ alors les limites de l'integrale I restent X0, Xi, mais, comme Pelement depend de t, I n'en apparait pas moins comme une fonction de t. II peut arriver que cette fonction de t se reduise a une constante, quel que soit Pare E. On dit alors que I est un invariant integral.
Pour que I soit un invariant integral, il faut que soit nul, quel que
soit Pare d'integration. On en deduit, puisque les limites Xi, X0 de l'integrale sont independantes du temps, que la derivee de la quantite sous le signe somme doit etre nulle,
^ (3t -+- ./.-+- Sn oxn ) = o.
Autrement dit, pour que I soit un invariant integral, il faut et il suffit que
Zi OXi -h S-2 ox2 + ..,+ Sfl oxn
soit une integrale dependant de deux solutions voisines.
Si, au lieu de prendre un element lineaire par rapport aux 8, on prend un element qui soit la racine m16mc d'une forme / (t, xt, x,n $X\, $xn) homogene et d'ordre m par rapport aux 0, on j)ourra de meme considerer l'integrale d'arc
I = j "Vf{t, Xi, . . ., X„, OX i, . . ., oxn),
et la condition pour que I soit un invariant integral revient a dire que / est une integrale dependant de deux solutions \oisines x\. x«, . ... xn et xt -+- ox\ , . . . , xn -+- oxn.
La question des invariants integraux representes par des integrates simples se ramene done a celles des integrates dependant de deux solutions voisines.
Mais on peut concevoir aussi des invariants integraux representes par des integrates multiples.
Supposons, par exemple, que le point P° decrive un espace E2 a deux dimensions et limitc; le point P en decrira un autre E2. Designons encore par 8 les deplacements effectues sur cet espace E2, et considerons l'inte- <mile double
I = Jf^MikoXiOX/,
etendue a l'espace E2. les etant des fonctions de
Quand P° decrit Pespace ES, les coordonnees x\, . .., x„ sont des fonctions de deux parametres X, ;jl et les xx, . . ., xn sont egalement des fonctions de t et de ces deux parametres. L'integrale I prendrait, si Ton introduisait les variables X, \x, la forme
(V V A/r l^Xi dxk dxt dxk \ t.
et les Iimites d'integration ne dependraient pas du temps.
Gependant, comme les M^- et les xt dependent du temps, l'integrale I en dependra generalement. Pour qu'clle en soit independante, il faudra que Ton ait
Si ceci a lieu, comme on Pa deja suppose, quelle que soit la forme et quelle que soit l'etendue de l'espace E5 et, par suite, de Pespace E2, il est clair que cette equation doit avoir lieu, quelles que soient les fonctions de X, ij. qu'on a prises pour xf et, par suite, pour les xt. Or, quand X varie
de <5X, xt varie de 0 Xi= oX, et il saute aux yeux que les h'xt verifient
OA
les equations aux variations des equations (33); de meme pour les variations h"xi = o;jl corres
I'equation pourra s'ecrire
tions §"xi = o;jl correspondant a la seule variation de \i. D'apres cela.
