CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

elle exprime que la fonction

/ = ^ M ik ( 8' Xi %'xk — o xk )

est une integrale dependant de trois solutions voisines, Xi, Xi-ho'xi,

J'i -h o" Xi.

Ainsi, par exernple, dans le cas des equations canoniques, nous avons vu que la somnae

Pi— o qto pt)

est une integrale quand les opt, o qt et 8"jt?z, o"qt sont deux systeme de solutions des equations aux variations; cela equivaut a dire que l'integrale double

1 = jf {dpi dqi -\- dpi dq* + ...-+- dpn dqn)

est un invariant integral.

On peut considerer de la meme facon des integrales £uPles, representant des invariants integraux, c'est-a-dire dont la derivee par rapport au temps soit nulle, et cela, quel que soit Pespace suivant lequel on integre.

Soit

i= f[''f 2Ma'^ x8a7a —

une telle inte'grable A-uple, ou les Ma,R,...,\ sont des fonctions des x et . di

de t. La condition — = o equivaut a la suivante :

ol:ra o1 #3 o-;ra o2#3

§kx\

Elle exprime que la somme ^\ on

sont k symboles diffe-

rents de diflerentielles, est une integrale dependant de (k-hi) solutions voisines.

Prenons, par exemple, l'integrale multiple d'ordre //