CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANON1QUES
'ou, par consequent.
dt
autre part, on sait que
Nous trouvons done, en definitive,
dP dt
— <tof + dt
e'est-a-dire
<J(X,-M) OU dxi Ot
On voit que M doit etre un multiplicateur au sens de Jacobi.
On deduirait aisement du resultat precedent ]a propriete d'invariance qui a etc etablie des le debut, attendu que si l'on fait un changement de variables portant sur xi, x-i, . . ., xm le determinant D se reproduit multiplie par le determinant de la transformation A. Si done M etait un multiplicateur avec les premieres variables, MA sera bien un multiplicateur pour les nouvelles variables.
Ge retour au multiplicateur de Jacobi est tres interessant, car il manifeste deja Timportance des notions nouvelles dues a Poincare, puisque ce multiplicateur n'y apparait que comme un cas particulier de conceptions beaucoup plus generales. Ajoutons que 1'eminent geometre a tire un grand parti de ces invariants integraux dans ses recherches de Mecanique, notamment en ce qui concerne la stabilite. Mais nous renverrons pour ce sujet au Livre de Poincare : Sur les methodes nouvelles de la Mecanique celeste.
Dans une Note inseree en janvier 1896, aux Comptes ren.dus de VAcademie des Sciences, G. Koenigs a egalement etudie les invariants integraux represente's par les integrates (n — i)-uples de la forme
dans I'hypothese ou les coefficients X des equations differentielles sont independant? de /, ;iinsi que les fonctions M. Si Ton pose
Mi dx\ . . . dxi—\ dxi+i . . . dx,
et si y. designe une integrate qui n'annule pas H(0), la fo action B(a) est
un multiplicateur. La connaissance de deux integrates y., rl permet alors
d'en former une troisieme 777^—5 ainsi que Ie permet le theoreme de
Poisson dans Ie cas des equations canoniques.
On pourra consulter egalement, sur les applications et la theorie des invariants integraux, les travaux de M. de Donder (Circolo di Palermo, t. XV, 1 901, et t. XVI, 190 ^), de H. Vergne [Sur certaines proprietes des systemes d* equations differentielles, 2e partie (Annates de V Ecole Normale superieure, 1910)], et de E. Goursat (Journal de M. Jordan, t. IV, 1908). Signalons enfin les generalisations dues a V. Volterra (Atti delta R. Acc. di Lincei, Rendiconti, 4e serie, t. VI- 1890, p. 127) et a M. Frechet (Annali di Mat., 3e serie, t. XI, 1905). exposees par M. de Donder dans une publication intitulee : Sur les equations canoniques de Hamilton-Volterra, Gauthier-Villars, 191 1.)
On se reportera egalement aux travaux de E. Cartan, exposes dans ses Lecons sur les invariants integraux.
