CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES. 4g
« Gauss a fait connaitre dans le Tome 4- du Journal de Crelle un beau theoreme qui comprend a la fois les lois generates de l'equilibre et du mouvement, et semble l'expression la plus generale et la plus Elegante qu'on soit parvenue a leur donner; les lecleurs francais nous serons gre de reproduire ici la traduction des quelques pages consacrees par l'illustre geometre a l'explication du nouveau principe. »
Le principe des vitesses virtuelles transforme, comme on sait, tout probleme de Statique en une question de Mathematiques pures, et par le principe de d'Alembert, la Dynamique est, a son tour, ramenee a la Statique. II resulte de la qu'aucun principe fondamental de l'equilibre et du mouvement ne peut etre essentiellement distinct de ceux que nous venons de citer, et Ton pourra toujours, quel qu'il soit, le regarder comme leur consequence plus ou moins immediate. On ne doit pas en conclure que tout theoreme nouveau soit pour cela sans merite. II sera, au contraire, toujours interessant et instructif d'etudier les lois de la nature sous un nouveau point de vue, soit que Ton parvienne ainsi a traiter plus simplement telle ou telle question particuliere ou que Ton obtienne seulement une plus grande precision dans les e'nonces. Le grand geometre (Lagrange) qui a si brillamment fait reposer la science du mouvement sur le principe des vitesses virtuelles, n'a pas dedaigne de perfectionner et de gene'raliser le principe de Maupertuis relatif a la moindre action, et Ton sait que ce principe est employe souvent par les geometres d'une maniere tres avantageuse. Le caractere propre du principe des vitesses virtuelles consiste en ce qu'il est, pour ainsi dire, la formule generale qui resout les problemes de Statique et qui peut, par suite, tenir lieu de tout autre principe, mais il n'a pas ce cachet d'evidence absolue qui entraine la conviction sitot que l'enonce est connu.
Sous ce rapport, le theoreme fondamental que je vais demontrer me semble devoir etre prefere; il presente, en outre, l'a vantage de comprendre a la fois les lois generales de Tequilibre et du mouvement. S'il est plus avantageux au perfectionnement successif de la Science et pour Tetude individuelle de passer du facile a ce qui semble plus difficile, et des lois les plus simples aux plus composees; d'un autre cote, Tesprit, une fois arrive au point de vue le plus eleve, demande la marche inverse qui lui fait parailre toute la Statistique comme un cas particulier de la Dynamique....
Le nouveau principe est le suivant :
Le mouvement (fun systeme de points materiels lies entre eux d'une maniere quelconque et soumis a des influences quelconques se fait, a chaque instant, dans le plus parfait accord possible avecle mouvement qu'ils auraient s'ils devenaient tous libres, c'est-d-dire avec la plus petite contrainte possible, en prenant, pour mesure de la contrainte subie [><■/,, /ant un instant infiniment petit, la somme des produits de
la masse de chaque point par le carre de la quantite dont il s'ecarte de la position qu'il aurait prise sHl eut ete libre.
Soient m, m', m", ... les masses des points; a, a', a", ... leurs positions respectives a l'instant t; b, b' , //', ... les positions qu'ils occuperaient apres un temps infiniment petit dt, en vertu des forces qui les sollicitent et de la vitesse acquise a l'instant t, si les liaisons etaient supprimees a cet instant; c, c', c", ... les positions reelles qu'ils occupent a l'instant / -i- dt.
L'enonce precedent revient a dire que les positions c, c', c", . . . qu'ils prendront seront, parmi toutes oelles que permettent les liaisons, celles pour lesquelles la somme
mbc -h m' b' c -hm"b"c" ...
sera un minimum.
L'equilibre est un cas particulier de la loi generale; il aura lieu lorsque les points etant sans vitesses, la somme
mob -4- ma b' -h . . .
sera un minimum, ou, en d'autres termes, lorsque la conservation du systeme dans un etat de repos sera plus pres du mouvement libre que chacun des point2 tendrait a prendre, si les liaisons etaient supprimees, que tout deplacement possible compatible avec les liaisons.
Demonstration — A I'instanl t, le point m occupe la position a de coordonnees x, y, z\ il possede une vitesse dont les projections sont les deriv^es x\ y\ z[ de x, y, z par rapport a f et une acceleration doht les projections sont les derivees secondes x",j'". z" de x, y, z par rapport a t ; enfm il est sollicite par des forces donn^es, autres que les forces de liaison, dont la resultante a pour projections X, Y. X. Dans le mouvement reel du systeme, x, y, z sont des fonctions du temps; a l'instant t le point m est en a, a Tinstanl t -f- dt il est en c : les coordonnees de c sont done, d'apres la forinule de Taylor, limited aux trois premiers termes,
( c) x -h x dt -h - x" dt-, y -\- y' dt -h - y" dt-,
; -h z dt -h - z" dt0-.
Si, a l'instant t, le point m devenait libre, e'est-a-dire si les liaisons etaient brusquement supprimees, ce point aurait une acceleration dont les projections, d'apres le principe fondamental
