CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES. 4g

de la M^canique (n° 69), seraient — > — > — et sa position b au

bout du temps dt serait donnee par des formules analogues aux

precedentes bu x", y" , z" seraient remplaces par — » — > — • On a done, pour Ies coordonnees du point 6,

( 6 ) ^ -+- a?' dt -+- - — aft2, y y' dt -h - — dt2,

z -h z dt H — — a£'2.

Le vecteur c6 a done pour projections

(*) K^-^")rf<!' s(l-d^ K^>*

et le vecteur m.cb, obtenu en multipliant cb par la masse, a pour projections

i (X — /n/) rf^, ^ ( Y — m/) dt\ \CL~ mz") dt2. Des lors, d'apres liquation g^nerale de la Dynamique, Y[(X— mx")Zx-+-{X — my")oy -h(Z — w/)^] = o.

la somme des travaux des vecteurs tels que m.cb est nulle, pour tous les deplacements virtuels compatibles avec les liaisons.

Soient done y, y', y", . . . des positions infiniment voisines de

c, c', c" . . . . que les points m, m! ', m", . . . puissent prendre sans

violer les liaisons du sjsteme. Le travail du vecteur m.c6, pour le

emplacement virtuel cy, est

-> -> m.cb.c-*.

11 faut douc que la somme de ces travaux

^m.cb.cy

soit nulle pour toutes les positions y, y', ... compatibles avec les liaisons.

j./> DYNAMIQUE DES SYSTEMES.

Mais il est clair quon a

y6 = (yc-f-c^) = c'i -h cb — ?.cy.c6

el , par suite,

^ m.^b =^m;c6 -+"2m-cY — 2 ^ m.cb.cv;

comme la derniere somme est nulle, on a

^ //? r[b — m . cb = m . c 7

et, par suite, la difl^renco

est toujours positive el est nulle seulement si les points y, y',

y'\ . . . coincident avec c, c', c" , . . . ; c'est-a-dire que ^m.c6 est toujours un minimum. Ce qu'il fallait d^montrer.

Enonce analytique <lu principe de Gauss. — D'apres les expressions ci-dessus des projections du vecteur cb, on a

Si un deuxieme mouvement compatible avec les liaisons se produisait de facon a amener les points en y, y', y", ... dans le meme temps dt, les accelerations auraient d'autres valeurs x\, y\ , z'[, . . . compatibles avec les liaisons et l'on trouverait de meme

Comme ^j^m.bc est toujours plus petit que ^jj^fn.by , on peut dire que :

A chaque instant t, les accelerations x", y" , z" , . . . que prennent reellernent les divers points sont, parmi toutes celles