CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES

que permettent les liaisons, celles qui rendent minimum la function

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da second degre en x" , y" , z" , .... Tel est l'enonce du principe de Gauss.

Nous devons a l'obligeance de A. Mayer, de Leipzig, les renseignements historiques el bibliographiques suivants. L'enonce analytique du principe de Gauss a deja ete indiqu£ par Jacobi dans une leeon qui n'a pas encore ete publiee; il a donner independamment de Jacobi, par Scheffler (III. Band der SchlomilcJisclien Z... p. 197)- 11 se Irouve reproduit dans Mach ) Die Mechanik in ihrer Entstehung liistorischkritisch dargestellt, Leipzig, 1 883), dans Hertz, (Gesammelte TVerke, t. Ill), dans Boltzmann ( Vorlesungen iiber die Principien der Mechanik , Leipzig, 1897); Willard Gibbs, dans un beau travail : On the fundamental formula? of Dynamics [American Journal of Mathematics, t. II, 1879), a donne, de cet enonce analytique du principe de Gauss, des applications a divers problemes, notamment a la question de la rotation des corps solides ; enfin A. Mayer s'est egalement servi de cet enonce dans un interessant article intitule : Ueber die Aufstellung der Differentialgleichungen der Bewegung fiir reibungslose Punktsyteme, die Bedin- LUingsungleichungen unterworfen sind und Zur Regulierung der St6ss<j in reibungslosen Punktsystemen, die dem Zwange von Bedingungsungleichungen unterliegen. (Abdruck aus den B eric It ten der mathematisch-physikalischen Klasse der konigl. Siichs. Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Sitzung vom 3 Juli 1899.)

On pourra aussi consulter, pour la comparaison entre les divers principes, un article de M. Hoelder : Ueber die Principien von Hamilton und Maupertuis {Nacht rich ten der k. Gesellschalf der Wissenschaften zu Gottingen, 1896, Helt 2). Enfin, pour le principe de la moindre contrainle, nous signalerons un article de Wassmuth : Das Restglied, bei der Transformation des Zwanges in allgemeinen Coordinaten (Sitzwigsberichte der

4PPBLL. — Traitc dr Mccaniqiic . II, .'(2

4g8 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.

kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, t. CX, Abtheilung II, avril 1901).

Forme gSnerale des equations de la Dynamique. — Remarquons, en terminant, qu'on peut rattacher a eel ^nonce analytique du principe de Gauss la forme des equations de la Dynamique que nous avons etudi^e precedemment (n° 465). Journal de Crelle, t. 121 et 122, et Journal de Matliematiques pures et appliquees de Jordan (premiers fascicules 1900 et 1901).] Soil un systeme quelconque dans lequel le defacement virtuel le plus general compatible avec les liaisons est defini par k variables dqt, dq2, dqk- On a pour un point quelconque du systeme

Bx = at oqx a« Bq* H~ •••-+- cik tyk- By = by Bqt 62 Bq2 4- . . . 4- b k bqk, Bz = Ci -+- Co 8^2-+-- • .+ Ck^qk',

d'oii, pour la somme des travaux virtuels des forces appliquees,

(X Bx 4- Y By 4-Z Bz) = Qi o^-h q« &£o4-. . .4- Qktyk

avec

Q^^atX-f-^Y + dZ).

D'autre pari, le deplacement r£el du systeme pendant le temps dt s'obtient en faisant croitre q^, q%, . . ., qk de dql} dq%, . . . , dqk, ce qui donne, pour le deplacement reel du point (z,y, z).

dx = ai dq 1 -h a2 dq<> 4- . r . 4- Uk dqk 4- a dt, dy = bidqi-{- b<,dq»-h- . . .4- bkdqk-\- b dt, dz = C\ dqi 4- c2 dq* -+-... -f- Ck dqk 4- c dt.

Divisons par dt et employons la notation de Lagrange pour les derivees, nous aurons

x = av q\ 4- rto q'2 4- . . . 4- ak q'k 4- a, j' — bxq\-^ b2q'2-i-. . .4- bkq'k-+- 6, s' = ct ^ 1 -4- cj 4- . . . -f- Ckq'k -+- c ;

d'ou, en derivant encore une fois par rapport au temps,

!x" — ax q\ 4- a<2,q% 4- . . . -h a* £*<+-'..., j" = 61 ^4- b«q\ 4-. . . 4- 6*^ -+-... , Z" = C, £i 4- C>^+...+ C* y'^ 4- . . .