CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES
5oi
Posons z — x->-yi, Z = X-+-Y*', et soit z =F(Z) une fonction analytique de la variable complexe Zj dc cette relation on tire
les fonctions <p et il verifiant les conditions
df dfy Oy ___ Oty ( ' OX ~ OY ' OY ~ OX '
Si, dans l'equation ( i ), on fait le changement de variables defini par les formules (2), on reconnait immediatement qu'elle devient
equation de meme forme que (i). Done, si Von considere toutes les trajectoires correspondant d la fonction des forces \J(x, y) et a la valeur h de la constante des for-ces vives, et qu'on soumette ces courbes a la transformation conforme (2), les nouvelles courbes seront les trajectoires correspondant a la nouvelle fonction des forces.
et a la valeur zero de la constante des forces vives. Par exemple, en prenant
ou a et p sont des constantes, puis en faisant z = Z% x = X2 — Y2,y = 2 XY, on trouve pour nouvelle fonction de forces
On passe ainsi de la loi d'attraction newtonienne a la loi d'attraction proportionnelle a la distance. (Goursat, Comptes rendus, t. CVIII, p. 446.)
4. Transformation de Darboux. — Soit, en adoptant les notations du n° 487, un systeme a liaisons independantes du temps, soumis a des forces derivant d'une fonction U ne contenant pas t, et
dSz — V „i ( dx- -+- dyz -4- dz' ) = V a{j dqt dq..
La determination des trajectoires se ramene, d'apres le principe de la moindre action, a la determination des fonctions qx, q„, ...,qk rendant minimum l'integrale
el — J" ^/aU + prfS, ou a et p designent des constantes. Comme on peut ecrire identiquement a=f y^ + oVu dS =j'y/^adS',
ou
rfS'2 = U dS-,
on voit que :
Si Von sait trouver les trajectoires da systeme propose, la constante des forces vives etant -> on en deduit les trajectoires d1 un autre systeme a k parametres qv q%, . .., qk pour lequel le nouveau d$2 est donne par
dS'2= U dS-, et la nouvelle fonction des forces par
la nouvelle constante des forces vives etant ^«
C.ette transformation comprend la precedente, donnee par Goursat.
(Darboux, Comptes rendus, t. CVIII, p. 449-)
5. Un systeme, assujetti a des liaisons pouvant dependre du temps, est sollicite par des forces derivant d'une fonction U des coordonnees et du temps; en outre, chaque point du systeme subit une resistance de milieu proportionnelle a sa masse et a sa vitesse. Demontrer qu'on peut, par un changement de la variable independante t, faire disparaitre ces resistances de milieu, de facon a pouvoir ensuite appliquer au systeme les theoremes d'Hamilton et de Jacobi.
Beponse. — Les equations du monvement sont, d'apres la methode des multiplicatenrs de Lagrange,
d-xv dU . dx., „ df. . df.
oil A* est une constante positive, la meme dans toutes les equations.
Faisons le changement de variable t = e~kt. Les equations prennent la forme
d-x., d\ df dfh
(7) m^ = ^,^^tc-+-'-+^jx-;
a condition de poser
On est done ramene a integrer les equations (2) qui sont les equations du mouvement du systeme donne, non soumis a la resistance de milieu et sollicite par des forces derivant de la nouvelle fonction V.
On pourra done appliquer a ce dernier mouvement les metliodes d'Hamilton et de Jacobi; on en conclura, en revenant a la variable t, les integrates des equations ( 1 ).
