CHAPITRE XXV. — EQUATIONS CANONIQUES
On pourra appliquer cette methode aux cas particuliers suivants : i° Mouvement d'un seul point.
[ Ce probleme a ete traite par Elliot et ramene par lui, d'une autre maniere, aux formes canoniques ( Comptes rendus, 1892; Annates de VEcole Normale, aout 1898). Voir egaiement le premier Volume, p. 5g5, exercice 12. ]
20 Mouvement de deux points pesants relics par un fil inextensible et sans masse, chaque point subissant une resistance de milieu proportionnelle a sa masse et a sa vitesse.
6. Mouvement de trois points materiels m, m', m", situes dans un plan fixe et s'attirant mutuellement suivant une fonction de la distance; les points m' et m" sont, en outre, assujettis a rester a des distances constantes de in. [ Voir Liouville, Sur un probleme de Mecanique (Journal de Liouville, 2e seri-. t. Ill)-]
La position du systeme depend de quatre parametres : en prenant pour 1'un de ces parametres Tangle a de mm' et mm", on voit que la fonction des forces ne depend que de a. Le probleme se ramene a des quadratures.
7. Soit 9 = c, <b = c' deux integrates des equations canoniques; si la parenthese (9, 40 n'est pas nulle et est fonction de 9 et de seulement. il existe toujours une fonction f de 9 et qui, egalee a une constante, fournit une integrale telle que (9, /) soit identiquement egale a l'unite.
8. Methode de Liouville pour ramener des equations differentielles quelconques a la forme canonique. — Soient des equations differentielles ordinaires du premier ordre de la forme
dx. dx, dxn ,
ou Xj, X,, Xn sont des fonctions donnees de xn a?2, xn, t. Introduisons des variables auxiliaires yx, y2, . . ., yn, et posons
H = X^-h X2y2+. . .-h.Xnyn.
Nous pourrons ecrire le systeme ( r )
dxx dH dx2 du dxn dll
~dt ~~ ~dyl ' ~dt ~o~y2 '"' ~dt ~ dy~J
avec les equations
3 £<=^L, dr*= dH}
dt dxx ' dt dxz ' dt dxn
servant de definition aux variables auxiliaires yx, y2, . . . , yn.
L'ensemble des equations (2) et (3) forme alors un systeme canonique.
9. Theoremk de A. Buhl. — Soit un systeme d' equations differentielles ordinaires
dxx dx, d.rn
On peut toujours adjoindre aux fonctions XIt X,, Xn d'aut/es fonctions Y,, Y2, Yn des memes variables xu x.,, xrt, de telle maniere que, si
5o4 DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
f(x\, x„ xn) == const, est une integrate premiere quelronque de (jj,
/ 'expression
\ . H- > , — — H-. . .-h Y„ — ^- = const. dxx dx2 " 0xn
en soit une autre. (Buhl, These de Doctorat, 1901.;
Ce theoreme comprend comme cas particulier le theoreme de Poisson; rnais on peut aussi le deduire du theoreme de Poisson (Appell, Comptes rendus, aotit rgoi).
Voyez egalement un memoire de M. Donder : Etude sur les invariants integraux (Cirrolo di Palermo, 9 mars 1902).
10. Transformation des equations differentielles de Hamilton. — La transformation des equations canoniques en un autre systeme canonique a ete traitee par Lie dans un memoire intitule : Die Storungstheorie und die Beruhrungstransformationen, insere au tome II de YArchiv for Mathematik of Naturvidenskab (Kristiania, 1877). Voyez egalement un article de Morera : Sulla trans formazione delte equazioni differenziali di Hamilton {Rendiconti delta R. Academia dei Lincei, Vol. XII, i5 fevrier 1903).
II. Determination des equations Hamilton- J acobi integrables moyennant la separation des variables ( Francesco-Aurelio Dall' Acqua, Mnthematische Annalen, Band 66, 1908, p. 898, et Burgatti, Rendiconti delta R. Acidemia, dei Lincei, Janvier 191 1).
12. Formes canoniques des equations generales du mouvement d'un corpuscule dans un champ magnetique et un champ electrique superposes (Carl Stormer, Comptes rendus, t. 151, 26 septembre 1910, p. 5go).
