GM A K
ce qui demontre le theoreme; en effet liquation obtenue (2) a la meme forme que Liquation (1) avec Ja seule difference que les coordonnees absolues sont remplacees par les coordonnees relatives.
Demonstration basee sur la theorie du mouvement relatif. — On peut arriver a ce r^sultat d'une faeon plus rapide, en partant de la theorie du mouvement relatif, c'est ce qu'on verra dans le paragraphe II du Chapitre XXII.
Interpretation geometrique. — Comme dans le cas du mouvement absolu (330), il existe une interpretation geometrique simple de ce theoreme. Soient Go-' (fig. 194) le moment resultant par rapport au centre de gravitc G des vecteurs representatifs des
quantites de mouvement relatives mV, et GS' le moment resultant des forces exterieures. Le theoreme exprime que la vitesse relative par rapport aux axes Gx'y'z' de Texlremite ct' du premier moment est egale et parallele a l'autre GS'.
Applications : i° Theoreme des aires. — Si la somine des moments des forces exterieures est nulle, par rapport a un axe de direction iixe mene par le centre de gravite, l'axe G:' par exemple, on a
Le theoreme des aires s'applique alors a la projection du mouvement relatif sur le plan a/Gy\ le centre des aires etant G.
20 Le moment resultant des forces exterieures /jar rapport au point G est nul. — S'il u'v a pas de forces exterieures ou
on voit que Tequitlion (1) se reduil a
d v ( — <IQm\ (2) ^UGMAirj-
si la somrae des moments de ces forces par rapport aux axes Gx' , Gy',Gz' est constainmenl nulle, on a l'integrale (3)et deux autres analogues
Dans ce cas, le vecteur GS' est nul; le point a a une vitesse relative nulle et le segment Go-' est constant en grandeur, direction et sens : ses projections sur les trois axes Gx', Gy\ G:'
Fig. 194.
sontles constantes A, B. G. Le theoreme des aires s'applique alors a la projection du mouvement relatif sur un plan quelconque P, de direction lixe, passant par le centre de gravite, car on peut toujours prendre un tel plan pour plan x'Gy1. La constante des aires sur ce plan P est la projection du segment Go-' sur la perpendiculaire Gn au plan. G'est done sur le plan IT perpendiculaire a Gcr' que cette constante prend sa valeur maximum : ce plan s'appelle plan du maximum des aires. Sur un plan passant par Gala constante des aires est nulle.
3 " Application au systeme solaire. Plan invaiiable de Laplace. Si Ton neglige Paction des etoiles, le systeme form6 par 1g Soleil, les planetes et leurs satellites n'estsollicite par aucune force exterieure. Si done on imagine des axes de directions fixes mene^s par le centre de gravite G du systeme, qui est place tres pres du Soleil, le moment resultant Gn1 des quantity de mouvement relatives a ces axes par rapport a G est constant en gran-
deur, direction el sens. On peut, a une certaine epoque, calculer les projections A, B, G de ce segment sur les axes, en calculant les sommes des moments cinetiques de tons les points du systeme par rapport aux axes.
Le plan II perpendiculaire au vccteur G?' ainsi determine a nne direction constante : c'est le plan du maximum des aires. On a ainsi un moyen, indique par Laplace, d'obtenir un plan invariable dans le systeme solaire. Laplace, en determinant ce plan invariable, avait calculi les quantites A, B, G comme si les planetes etaient reduites a des points places a leurs centres; Poinsot complela le calcul de Laplace en ajoutant les termes qui proviennent
/ttl
Pit
de la rotation des planetes sur elles-memes, termes qui ont d'ailleurs peu d'intluence sur le resultat final. (Voir Elements Statistique de Poinsot, 5e Edition, note.)
Les memes conclusions subsistent encore, meme si Ton ne neglige pas Taction des £toiles : en effet, les distances des £toiles aux divers points formant le systeme solaire sont tellement grandes. par rapport aux dimensions du systeme que les attractions des e^oiles sur les divers points du systeme sont sensiblement paralleles et proportionnelles aux masses de ces points; des lors, ces attractions forment un systeme de vecteurs equivalent a un vecteur unique applique an centre de gravite G du systeme et leur moment resultant par rapport a G est nul; le moment resultant Gt' des quantites de mouvement relatives par rapport a G est done constant en grandeur, direction, et sens.
4° Mouvement d'une bat-re pesante dans le vide. — Soit une barre pesante AB (fig. iq5) lancee dans le vide, cette barre etant regardee comme une droite materielle. Le centre de gravfte G decrit une parabole. Si Ton mene par ce point des axes Gx\ Cry', G z' de directions fixes, la somme des moments des forces exterieures par rapport a chacun de ces axes est nulle, car les forces exterieures sont les poids qui admettent une resultante unique appliquee en G. On peut done, dans le mouvement relatif par rapport aux axes x', y' z', ecrire les trois integrales (3) et (4). Soient p le point de la barre situe a 1'unite de distance de G dans un sens determine : a, b, c ses coordonnees par rapport aux axes Gx', y\ £\ m un point situe a une distance r de G, r etant positif ou negatif, suivant que Gm est ou non de meme sens que Gp. Les coordonnes de m sont
x' = ra, y'=?b, z' — rc, dx' da dy' db dz' dc
~dt~,~dt'> ~~dt ~ '' ' ~dt' ~di ~~ 7 ~di'
L'integrale (3) donne done
/ db da\
( a — — b — 1 mr- = G,
\ dt dt / '
ou la somme Smr2, e'tendue a tous les points de la barre, est le moment d'inertie par rapport au point G.
De meme les deux integrales (4) donnent
/. dc db\^ , ,
lb—, c —r ) 2m;,2= A,
\ dt dt J '
/ da dc\
I c —. a — Smr2 = B.
\ dt dt J
Multipliant par c, a, b et ajoutant, on a l'equation
A r/.+ B6 + Cc = o,
-qui montre que le point p reste dans un plan H fixe par rapport aux axes Gx'y'z' et perpendiculaire au vecteur Gg' de projections A, B, C, : e'est le plan du maximum des aires. Le point p et tous les points de la barre d^crivent des cercles de centre G : comme le principe des aires s'applique aussi au plan II, la barre tourne autour de G dans ce plan, avec une vitesse angulaire constan 1 e.
5° Systime pesant dej amiable. — Un systeme pesant deformable etant lanc«j dans le vide, son centre de gravite G decrit une parabole; si par ce centre G on mene des axes de directions fixes, la somme des moments des forces exterieures est nulle par rapport a ces axes; par suite, la somme des moments des quantites de mouvement relatives est constante par rapporl a tout axe mene par G, et le theorem e des aires s'applique autour
du |)oint G : la projection du monvemenl relatif sur tout f)lan d'orienlalion fixe mene par G : le vecteur Gn' est constant en grandeur, direction
et sens.
Par exemplo, quand lin liotnme fait le saut perilleux, il se donne au depart
une certaine vitesse angulaire de rotation autour d un axe horizontal G z
mene par son centre de gravite; si le corps restait rigide, cette vitesse
angulaire se conserverait a peu pi es et ne serait pas suffisante pour imprimer
au corps une rotation complete de 3(k>" avant qu'il retombe sur lesol. Mais,
nne fois lance, l'liomme ramasse son corps autour du centre de gravite,
le moment d'inertie par rapport a l'axe diminue, et, commc la somme des
. , dti napments des quan. tiles de mouvement E/rcr'2^ doit rester constante, la
vitesse angulaire augmente el devient suffisante pour qu'une revolution complete soit possible avant la chute.
Dans cet exemplc, l'liomme possede une vitesse angulaire initialc qu'il augmente par le jeu des forces interieures: mais il pourrait, meme, en se lancant sans vitesse angulaire initiale, arriver a tourner sur lui-meme dans l'espace, d'un certain angle. G'est ce qu'on voit par les considerations developpees dans les exemples du n° 333; ainsi un bomme lance dans le vide, avec un mouvement de translation pourrait se retourner par des procedes analogues a ceux que nous avons indiques a la fin du n° 333, pour un observateur place sur un plan horizontal poli. G'est par ces memes considerai ions qu'on explique comment un chat arrive, sans aucune aide exterieure, a se retourner dans une chute.
351. Theoreme des forces vives dans le mouvement relatif autour du centre de gravite. — Le theoreme des forces vives a ele etabli pour le mouvement absolu d'un systeme. II est encore vrai pour le mouvement relatif, par rapport a des axes animes d'une translation rectiligne uniforme. Mais on ne pent pas, sans modifications, l'appliquer au mouvement relatif par rapport a des axes animus d un mouvement quelconque. II cxiste cependant un systeme daxes mobiles particulier, par rapport auquel le theoreme subsite sans modifications dans Fenonce : e'est un systeme d'axes de directions fixes passant par le centre de gravite. On a ainsi le theoreme suivant :
De meme que le theoreme des moments cinetiques, le theoreme des forces vives S* applique au mouvement relatif du systeme par rapport it des axes de directions fixes passant par le centre de gravitr.
Nous etablirons ce theoreme, en faisant une combinaison des
equations du mouvement du centre de gravite et de Inequation des forces vives dans le mouvement absolu : l'equation obtenue est done une consequence des equations universelles des paragraphes 1 etIL
L'equation des forces vives dans le mouvement absolu est
(5) '/1<^''~ = 2S(Xe<£c -h Ye dy + Zedz) -+- 22(X^/.r -4- Y, dy + Zidz);
faisons dans cette equation le changement de coordonnees
x = * ■+■ x x = Ti 4- j7, 5 = £ -+- z'\
Nous avons vu, par le theoreme de Koenig (n° 349 ), qu'en appelant V la vitesse de G et t>' la vitesse relative d'une molecule de masse m par rapport aux axes Gx'y' z\ on a
±mv*= J11V2+ 2mp'2.
D'autre part.
a?.r = r/£ + rtV = flfr) -+- rfjK7, ^/s = -h 6/2'.
L'equation (5) devient done
= SS(Xj ate' -h Yj dy' -f-.Zj <&') -+- HS(Xc -+- Ye r// -+- Ze ate7 ) + ^ { 22 X/ -+- 22 Xe ! -+- ^7) [ 22 Yf-p 22 Ye } + d& '{ 22 Zz -+- 22 Ze ) .
Or, les sommes 22 Yj, 22ZjSont nulles en vertu du prin-
cipe de l'egalit£ de Taction et de la reaction; puis on a
JRV-
d— =^22Xe-4-rfn22Ye-h d;22Ze,
equation qu'on obtient en effectuant la combinaison des forces vives sur les equations du mouvement du centre de gravite. II nous reste alors, apres reductions,
~T~ = £s(X<^'->- *idy'+ 1idz') 4r 22 (Xedxr-h Yedy+ Zedz').
Cette equation est composed avec les vitesses et les deplacements relatifs, comme liquation des forces vives avec les vitesses et les defacements absolus. Le theoreme est done demontre.
lie marque sur les travaux des forces exterieures. — La somme des travaux ElEmentaires des forces intErieures, ne dependant que des variations des distances mutuelles des points, est la meme dans les deux equations ; mais la somme des travaux des forces exterieures n'est pas la meme dans les deux equations.
Gela rEsulte du calcul precedent, car on a trouvE
SS(Xf dx Yt dy -h Zidz) = 2 2 ( X / dx -+- Yt dy' -+- Zt dz' ),
ce qui prouve que lessommes des travaux ElEmentaires des forces intErieures sont les memes dans le deplacement absolu et dans le dEplacement relatif par rapport aux axes considered; tandis qu'on a trouve
2 2 ( X6> doc -h Ye dy -+- Ze dz )
= 22 ( Xe dx' + Ye dy' -+- Ze dz' ) ■+■ 22(XC d% -h Ye di\ -h Ze < ),
ce qui montre que les sommes des travaux des forces exterieures ne sont pas les memes dans les deux deplacements.
Ainsi, lorsque certains corps du systeme sont assujettis a des liaisons sans frottement avec des corps fixes, les forces de liaison con espondantes sont exterieures au systeme : leurs travaux Elementaires sont nuls dans le dEplacement absolu comme nous Pavons dEmontrE en etablissant le thEoreme des vitesses virtuelles; Us ne le sont pas en general dans le deplacement relatif par rapport aux axes Gx', y \ z' . (Voir, dans les exemples suivants, lexemplellly n° 354.)
Demonstration basee sur la theorie du mouvement relatif.
— On trouvera au chapitre XXII une demonstration simple du thEoreme, basee sur la theorie du mouvement relatif.
