Nombre maximum des equations generales independantes
— Dans le mouvement absolu nous avons obtenu sept Equations universelles, trois pour les projections des quantitEs de mouvement, trois pour les moments des quantitEs de mouvement, une pour les forces vives. En appliquant les theoremes des moments et des forces vives au mouvement relatif autour du centre de gravity, on obtient encore quatre Equations. Mais ces equations ne sont pas distinctes des sepi Equations universelles : elles en sont des
consequences, comme nous l'avons fait remarquer. Suivant les cas, il pourra etre plus commode d'ecrire les equations des moments et des forces vives, dans le mouvement absolu ou dans le mouvemeni autour du centre de gravite.
353. Portion quelconque d'un systeme. — En isolant par la pensee, dans un systeme materiel S. une portion determined P, forme\: de points materiels bien d^finis, on peut appliquer a cette portion P les sept equations universelles, a condition de considerer comme forces exterieures a P les actions excretes sur cette porlion par la partie rest ante S — P du systeme.
Cette consideration est souvent utile, pour trouver les actions et reactions qu'exercent l'une sur Pautrc les deux parties S — P et P.
354. Exemple I. — Systeme pesant dans le vide. — Quand on lance dans le vide un systeme pesant quelconque libre, le centre de gravite du systeme de'erit une parabole. Menons, par le centre de gravite, des axes de directions fixes, Gz etant la verticale ascendante : le theoreme des forces vives s'applique au mouvement relatif du systeme par rapport a ces axes. Les seules forces exterieures etant les poids, les projections du poids d'un point m sur les axes mobiles sont o, o, — mg. On a done
v my''1
d — - — =—Zmgdz'-i- Z¥ukdrj>k.
.Mais, l'origine etant le centre de gravite, les sommes Urns', 2»ir/s' sont nulles. done
^ = HFJ>kdrJ}k.
La force vive dans le mouvement relatif par rapport aux axes Gx, Gyr,' G z' ne varie done que par Taction des forces interieures. Si le systeme est un corps solide, la force vive relative est constante.
ExEMPLE II. — Etudier le mouvement de deux points pesants A et B de me me masse m attaches Pun a V autre par un Jil elastique sans mass*- et lance s duns /r vide. — La longueur naturelle du til etant 2 1, on admet que, quand il est allonge jusqu'a la longueur 2 r, sa tension T esl proportionnelle a son allongement i{r — I)
T = mk*tr— I).
Le til • tant tendu a une longueur 2r0>2/. les deux points sont lances dans le vide.
r Le centre <le gravite <) du milieu de AH decrit une parabole comme un point pesant .
2" Dans le mouvement relatif par rapport a des axes G/'. y\ z' de directions fixes menes par G, 1c moment resultant, G?' des quantites de mouvement relatives par rapport au point G est constant en grandeur, direction et sens (n° 350, exemple 5°); le tbeoreme des aires s'applique a la projection du mouvement sur chacun des trois plans de coordonnees.
Si Ton appelle x ', y', z' les coordonnees relatives de A, celles de B sont — x', — y', — z', et le theoreme des aires s'exprime par les trois
equal ion^
On en conclut
/ , dz'
VlTt
I ,dx , dz' \ m ( - — = x —j-
V de de )
/ ,dy' ,dx'\ m x —, v — t~ I = G:!
\ de ■ de J
Ctx' ■+• C->y'-h Czz' = o.
ce qui montre que la ligne AH reste dans un j)Ian li de direction fixe passant par G : ce plan perpendiculaire a Gq est, dans le mouvement relatif, le plan du maximum des aires. Gette propriete est d'ailleurs independante des forces interieures, c'est-a-dire de Taction mutuelle des deux points.
Prenons alors le plan II pour plan x' Gy' et deux axes Gx'. Gy' de directions fixes dans ce plan : apj)elons r et 0 les coordonnees polaires de A dans ce plan; celles de B seront r et 0 -+- -. L'equation des aires donne
i \ ndQ r
(I) r-de=L-
Appliquons l'equation des forces vives au mouvement relatif autour du centre de gravite. Les tra vaux elementaires des poids seront nuls (exemple I) ; il suffit done de tenir compte du travail des deux tensions du fil sur les deux points A et B. Ces tensions jouent le role d'une attraction mutuelle des deux points ayant pour valeur algebrique — mk-(r — /). Les deux points ont evidemment, par raison de symetrie. la meme vitesse relative i ' par rapport aux axes Gx', y' : on a done
di^ — = — mk'2(r — I) d(2r), car la distance mutuelle des points est n\ En integrant, on a
ou enfin, en remplacant v'- par son expression en coordonnees polaires,
/ \ dr* ,dQ*
Ges deiix Equations (i) et (i) determinent /• et 0 en fonciion de t. Si lOu vcut la trajectoire relative d'un des points dans le plan II autour de G, il suffit d'eliminer dt entre ces deux equations : on a ainsi 1'equation different ielle de la trajectoire
ou il faut prendre ou — •, suivant que r varie ou non dans le me me sens que 8.
La valeur initiale de r, rf)> /, rend le polynome sous le radical positif : com me ce polynome est negatif pour r = o et r = 00, il est evident que r devra rester compris entre deux racines a et (3, et pourra seulement varier de Tune a ('autre. D'apres l'equation (1), 6 varie toujours dans le meme sens, et la courbe est analogue a celle que decrit la projection horizontale d'un pendule spherique (n° 277, fig. 170).
Mais il taut remarquer que nos formules supposent essentiellement que /• reste superieur a /; si r, a un moment donne devenait egal, puis inferieur it /. le fil ne resterait pas tendu, la force T disparaitrait comme si k devenait nul, les deux points pesants deviendraient independants, et, a partir de ce moment, leurs trajectoires relatives dans le plan II, autour de G, deviendraient des segments de droites jusqu'au moment ou, le fil se tendant de nouveau, la force T reparaitrait. Dans ce cas, la trajectoire relative sc composerait alternativement d'arcs de la courbe (3) quand r> /, el de segments de droites raccordant ces arcs quand r < /. Pour que ce cas se presente, il faut et il suffit que I soit compris entre les racines a et (3 du polynome entre lesquelles varie r.
Exemple III. — Trouver le mouvement de deux points materiels pesants A et B de meme masse m, relies Vun a V autre par une tige rigide et sans masse de longueur il et assujettis a glisser sans frottementj Vun A sur un axe vertical fixe Ox, V autre B sur un axe horizontal fixe Oy. — Les forces exterieures appliquees au systeme sont les poids mg des deux points et les reactions normales P et Q des deux axes {fig- 19ft)- Le systeme etant a liaisons completes independantes du /'■mps, il suffit d'appliquer le theoreme des forces vives au mouvement absolu. Le centre de giavite G du systeme est au milieu de AB : la distant e OG = / et Tangle #OG a une certaine valeur variable 6. Les coordonn»:es de A et B etant, pour A, x = il cosO et, pour B, y = 2 1 sin 0, la
force vive du systeme est ^ ml2 J ; le travail elementaire du poids
mg de A est mg dx ou — imgl sin 0 <r/0 ; le travail du poids de B est nul. <>n a done l'equation des forces vives
d |" 2 m I- ^ ^ ^ j = — 2 mgl sin 0 d%,
qui, par ['integration donne apres division par 2m/2,
(4) (^)!=^cosO + /«),
// designant une constante. Gette equation est identique a Tequation du mouvement d'un pendule simple de longueur il. Le mouvement est os< illatoire ou revolutif suivanl que h est compris entre — i ct + i ou superieur a i .
Fig. 196.
Remarque. — On peut aussi appliquer le theoreme des forces vives au mouvement relatif autour de G. La force vive relative par rapport aux
axes Gx' y' de directions fixes menes par G est 2/>*/2^^^ ; la sommc
des travaux elementaires des deux poids de A et B est nulle dans le deplacement relatif par rapport a ces axes; mais, par contre, les travaux des reactions normales P et Q clans ce deplacement relatif ne sont pas nuls, car les deplacements elementaires relatifs des points A et B, pour un observateur attache aux axes Gx',y', sont des arcs de cercle decrits de G comnie centre avec GA et GB comme rayons, et ces arcs ne sont pas perpendiculaires aux forces P et Q. On aura done, en ecrivant Tequation des forces vives dans le mouvement relatif par rapport aux axes Gx' et G r . une equation contenant P et Q. En remarquant que le point A a pour coordonnees par rapport a ces axes
(A) .r'=/cos6, y' = — I sin 6,
que le point B a pour coordonnes — x et — y . et que les forces P et Q out pour projections (o, P) et (Q, o), on a pour les travaux elementaires de ces forces
p dy+ Qd(—x'\
et l'equation des forces vives cherchee est
./|"m/^-^yi = HQ sine- P cos 0W6.
Les reactions figurent dans cette equation, qui pourrait etre employee avec une autre pour determiner P et Q. Mais il sera plus simple de calculer P et Q directement en e'crivant les equations du mouvement absolu du centre de gravite G projete sur Ox et Oy : on a ainsi les equations
d2£ d-r\ 2 in — — == 2 mg -h Q, 2 m —j— = 1 , dr- * v' dt* '
?] = / sin 6.
En calculant les derivees secondes de £ et vj par rapport a t et rempla-
"" ' ^) Ct ~7P ')ai *eurs va^eurs tirees de (4), on aura P et O en fonct ion de 8. Les signes de P et Q donneront les sens de ces reactions, qui, sur fa figure 196, out le sens qu'elles auraient si elles etaient toutes deux positives.
Faisons le calcul :
On a. apres le calcul de et de 4ri
r dt- dt'2
Q ==27tt/[ — ^ sinO — cos ej — 2mg,
Mais 1'equation (4), differentiee par rapport a t, donne, apres suppression
j . dO du lacteur — j dt
— j— = — sin 6.
- J dp il
On a alors en substituant les expressions (4) et (5) dans Q et P,
Q = — mg cos 0(3 cos 0 -4- 2 h) — mg, P = — mg sin 0(3 cos 0 -b ih).
Tension de la tige. — Appelons T la tension de la tige; le point A sera sollicite par trois forces : son poids, la reaction P et la force T comptee positivement de A vers B. En ecrivant 1'equation du mouvement du point A, en projection sur Oy, on a, puisque Pacceleration de A a une projection nulle.
o = T sin 0 + P,
d'ou
T = mg{ 3 cos 0 -+- 2 h ).
ai'pbi.l. — lraite dc Mecanique. 11. 5
v. Energie.
355. Systeme conservatif. — Considerons un systeme dans lequcl les forces interieures (Xt, Yj, Zf) dependent uniquement des positions des points et de>ivent d'une fonction de forces Ui(xi, yi, zx, x2, y2, z2, . . ., x„. yn. zn) que nous supposerons uni forme.
On a alors identiquemenl
t^iXidx h- Xidy + Zidz) = dVj.
Ce fait a lieu en parliculier quand Taction mutuelle de deux points quelconques du systeme depend uniquement de lew
distance (38).
Quand cette fonction Uj existe, le systeme est dit conservatif.
Un tel systeme est caracterise" par ce fait que, lorsqu'il passe d'une configuration (Gi) a une configuration (C2), le travail total des forces interieures est independant de la facon dont on amene le systeme de la premiere configuration a la derniere.
En effet, si U, existe, la somme des travaux des forces interieures, d'une configuration a l'autre, est
/ SS(Xrd#-4- Yidy-hZidz)= / (U,)2 — (Uf-)..
(U/)i et (U,:)2 etant les valeurs de la fonction U, correspondant aux deux configurations. Le travail t5/ ne depend done que des configurations initiale et finale (G() et (C2).
Reciproquement, si le travail des forces interieures ne depend que de la configuration initiale et de la configuration finale, le systeme est conservatif. la fonction U, existe. En effet, prenons une configuration initiale fixe (C0) et soit (G) une configuration quelconque : par hypothese, le travail % des forces interieures. quand le systeme passe de (G0) a (C), ne depend que de (G0) et (C). Le travail V>i varie settlement avec le choix d'une configuration finale (G) : il est une fonction des coordonnc^es .ri. Vi, Si, xii y'>t ^2? ■ • ■ ■> oc,n y,i^ zn des points du systeme dans celte configuration :
^. = /(.n. yu zlf x,, \\, z,. . . ., x„, yn, z„).
Si Ton fail passer le systeme de la configuration (C) a une configuralion infinimenl voisine correspondant aux coordonnees Xi + dxy. yi-t- dy{. . . . , zn-\r-dzn, le travail des forces inl£rieures augmente de la quantite"
d&i = SS(Xi dx + Yt dy -+- Z, dz ) ;
done la so name des travaux elementaires des forces interieures est une differ en tielle totale exacte d'une fonction des coordonnees. Le systeme est conservatif.
356. Energie potentielle. Signification mecanique. — La fonction
des coordonnees II (x^y^ , z±, #2, . . . ,xn,Yn, zn) = — U;-f- const, s'appelle e'nergie potentielle du systeme. Gette fonction n'est done definie qu'a une constante pres. Nous supposerons la constante choisie de faoon que l'energie potentielle II s'annule dans une position determinee (C0). Alors la valeur II de Verier gie potentielle du systeme, dans une configuration quelconque (C), est egale a la somme des travaux des forces interieures quand le systeme passe de la configuration actuelle (G) a la configuration speciale (G0) dans laquelle II est nulle.
En eftet, pour un defacement infiniment petit du systeme, la somme diZ,- des travaux elementaires des forces interieures est
d%i= dUi = — dH\
d'oii, en appelant le travail des forces interieures, de la position actuelle (C) a la position (C0),
ric.) ■
== — / du = u — n0 = n,
car II„ esl suppose mil; ce qui demontre la proposition.
Le choix de la configuration speciale (C0), pour laquelle on convient de regarder l'energie potentielle comme nulle, est arbitraire. Quand, parmi toutes les configurations possibles du systeme, il en est une qui rend U, maximum, et par suite
II — — Ut -+- const.
minimum, on clioisil ordinairement celte configuration speciale pour la configuration (C0), dans laquelle II s'annule. Alors, pour
toutes les autrcs configurations, II est positif. Dans ce cas, la configuration (C()), correspondanl a un maximum de la fonction des forces U,, est une position d'e^quilibre stable du systeme suppose soumis uniquement aux forces interieures. Gela r^sulte d'un thdoreme que nous demon trerons plus loin et que nous admetlons ici.
Si Ui admct plusieurs maxima, on choisit pour (G0) la configuration qui donne le plus grand maximum.
