Conservation de Tenergie. — D'apres ces notations
the'oreme des forces vives s'6"crit (n° 336), en remplacant
22 ( X; dx + Yi dy -+- Zt dz ) par sa \ aleur dUi ou — dll,
(!) d (^UHfl + \\\ - vv(Xe^+ Xcdy+- Zrdz).
Le premier membre \-Ti est l'^nergie totale du systeme.
Les deux termes qui le composent sont de nature diff^rente : le
premier — ^— depend seulement des vitesses des diffe>ents points
et non de leurs positions : on l'appelle energie cinetique ou actuelle du systeme; le second II depend uniquement de la position du systeme et non des vitesses : e'est Y energie potentielle.
L'equation ci-dessus s'enonce ainsi : la variation infiniment petite de Venergie totale est egale a la somme des travaux elementaires des forces exterirures.
Si l'on integre les deux membres de l'equation (i) d'un instant f4 a un instant t, on a
(i) {^f h- n) - [^f Hh H)i ~f\*<Z.d* + K<dy + que nous e^crirons
La variation de Venergie, dans un inter valle de temps fim\ est done egale a la somme des travaux des forces exterieures pendant cet intervalle.
En particulier, si le systeme n'est sollicite par aucune force extirieure , son energie reste constante :
c'est la le principe de la conservation de I'energie. Ainsi, quand le systeme se deplace, sans qu'aucune force exterieure agisse, I'energie cinetique et I'energie potentielle varient, mais leur somme reste constante. Ces deux sortes d'energie, quoique de nature different^, se transforment l'unc dans l'autre.
Remarque. — Supposons qu'on prenne pour unite de travail le kilogram metre, I'energie potentielle elant un travail (340) sera exprimee par un certain nombre de kilogrammetres; I'energie
cinetique — - — est aussi exprimee par un nombre qui represente
des kilogrammetres.
L'energie totale est done un certain nombre de kilogrammetres.
358. Signification mecanique de I'energie totale. — - Soit &t l'energie du sjsteme a un instant t{ ; si aucune force exterieure n'agissait sur le systeme, il conserverait indefiniment cette energie Faisons agir sur lui des forces exterieures (Xe, Ye, Ze), de facon a le faire passer de l'etat actuel a l'etat final, oii son energie & est nulle. La formule (2) nous donnera
Done V energie totale du systeme est egale et de signe contraire au travail des forces exterieures, qu'il faudrait faire agir sur le systeme, pour le ramener de l'etat actuel a Vetat special pour lequel V energie totale est nulle.
Cet £tat special est l'immobilite" (t> = o) dans la position speciale (C0), ou II est nul.
Com me &y est positif, le travail %e des forces exterieures necessaires pour realiser la transformation demandee est negatif, e'est-a-dire que le systeme fournit alors du travail aux corps exlerieurs. Pour preciser ce point, tirons tout d'abord unc consequence immediate de Pequation (2).
Supposons que le systeme ri'agit mecaniquenient au dehors
jO ' DYNAMIQUE DES SYSTEMES.
que par des corps solides en contact avec lui par les memes /joints ou lies a lui par des liens rig-ides. Alors les forces exfcjrieures appliquees au systeme sonl les actions (Xe, Ye, Ze) de ces corps solides sur lui; cvidemment le systeme rcagit sur les corps solides cxterieurs et exerce sur eux des actions ( — Xe, — Ye, — Ze) egales et opposes. Par excmplc, si un corps solide (A) {fig- 197) est en contact avec le systeme (S) en M, il exerce sur le systeme line force extcrieure Fe : inverscmcnt. le systcmc exerce sur le corps unc action egale et opposee. Quand le systeme se deface, les deux forces egales ot opposees, Fe et F,. appliquees
Fig. 197.
a des points materiels places en M et subissant le meme defacement, produisent des travaux egaux et de signes contraires. Done la somme *&e des travaux de toutes les forces exterieures appliquees au systeme est alors egale et de signe contraire a la somme c^>c des travaux des actions exercees par le systeme sur les corps solides en contact avec lui
Le travail %>'e des actions exercees par le systeme, sur les corps exterieurs en contact, est le travail exterieur produit 011 accompli par le systeme, travail qui pout d'ailleurs etre positif ou negatif.
En considerant le mouvement du systeme de l'inslant ti a 1 instant nous avons trouve que la variation & — &y de l'energie est egale a la somme %e des travaux des forces exterieures. On a done aussi
Done, si le systeme 11 agit mecanique merit au dehors que par des corps solides en contact avec lui ou relies a lui par des liens rigides, Venergie perdue est egale au travail produit par le systeme sur les corps exterieurs.
En particulier, supposons que le systeme passe de l'etat aetuel, ou son energie lotale est a cet (Hat final particulicr ou son energie lotale & est nulle, c'est-a-dire ou le systeme est immobile dans la configuration sp6ciale (Gn) pour laquelle IT est nulle, liquation devient
ii - %
L'^nergie que possede le systeme esl done egale au travail exterieur qu il peut fournir de la maniere indiqu^e, quand il passe a
l'4tatdans lequel son energie est nulle. Comme l'energie IlH^L — ^-U
esl essentiellement positive et a pour minimum zero, le travail extorieur fourni ainsi par le systeme, quand il passe de l'etat actuel a l'etat special ou son energie est nulle, est le plus grand qu'il puisse fournir.
D'apres cela, on peut enoncer les propositions suivantes, que nous empruntons a un article de M. Maurice Levy, Sur le principe de V energie (Gaulhier-Villars, 1888) :
L 1 energie totale d' un systeme a un instant quelconque est le travail utile maximum qu'il est possible de se procurer en utilisanL les vitesses acquises et les forces interieures du systeme.
Dans cet enonce, on suppose, bien entendu, que le minimum de II est zero, comme nous l'avons explique plus haut.
L? energie cinetique du systeme, a un instant, est le travail utile maximum quil est possible de se procurer en n'utilisant que les vitesses acquises a cet instant par les differents points du systeme, sans utiliser aucune des forces interieures qui le sollicitent.
Venergie potentielle, a un instant, est le travail utile maximum qu'il est possible de se procurer en n'utilisant que les forces interieures du systeme, sans utiliser les vitesses acquises par ses points.
Lorsque des forces exterieures agissent sur un systeme, on dit qu'elles sonl motrices quand elles lendent a accroitre son energie, et resistances quand elles tendent a la diminuer.
Exemples. — i° Points materiels s'attiranl proportionnellemeni a la distance. — Soit un systeme forme de deux points libres de masses m el in' s'attiranl proport ionncllement a leur distance r. Leur action rnutuelle est ar ou 'j. 0, et le travail de cette action rnutuelle est
rd r = d ( — ^— —
On a done actuellement U/ = — ^eLte fc>ncti°n esl toujours nega-
tive, excepte pour r == o oil elle est nulle, et, par suite, maximum. Nous prendrons alors
Cette energie potentielle est toujours positive, excepte quand /* — o. La configuration speciale (C0) est done ici celle qui consiste a mettre les deux points en contact. L'energie cinetique est
mv- -h mv'1
et l'energie totalc
Supposons qu'a Pinstant t — o les deux points soient immobiles et en contact : alors 30 — o. Cet etat persiste indefiniment si aucune force exterieure n'agit. Prenons cliaque point dans une main et separons-les a une distance ri, ou nous les maintiendrons immobiles : il faut pour cela
de'penser un certain travail % '; l'energie potentielle devient ^-p-> l'energie
cinetique sera nulle, et raccroissement de l'energie totale est egal
au travail exterieur depense. Puis, lancons les points avec des vitesses
initiales v\ et v\ ; il faut pour cela depenser un certain travail %\ l'energie
. . M-r? „„-♦'•• . , . , mc'i+ m v'r
potentielle est restee ■ > 1 energie cinetique est devenue
l'energie totale a augmente de la quantite -5 egale au travail
depense c&". Si ensuite le systeme est abandonne a lui-meme, on aura constamment
mv 7 -+- 7n v ,- ixr
L'energie totale restera constante et ne pourra changer que si une force exterieure agit. On pourrait utiliser cette energie totale en faisant produire au systeme un travail exterieur jusqu'au moment ou, les deux points
etant de nouveau en contact et immobiles, l'energie serait devenue nulle. Le travail que le systeme peut ainsi fournir est egal a son energie, c'esta-dire au travail S'+S? qu'on a depense au debut pour lui communiquei son energie.
2° Pendule. — Considerons le systeme forme par la Terre supposee immobile et un pendule simple de masse in. Appelons z la hauteur du pendule au-dessus du point le plus bas A de la circonference qu'il decrit. Les forces interieures au systeme forme par la Terre et le pendule sont l'attraction mg de la Terre sur le pendule et une force egale et contraire appliquec au centre de la Terre. Si le pendule monte de dz, le travail de l'attraction mg est — mg dz, celui de la force appliquee au centre de la Terre est nul, car ce point est immobile. La somme des travaux elemental res des forces interieures est done
— mg dz — — d{ nig z ).
Fig. 198.
On a
Ui = — mgz,
et nous prendrons
II = mgz ;
de cette facon II est positif pour toutes les positions du pendule et nul pour la position A qui est une position d'equilibre stable. Si Ton suppose d'abord le pendule immobile dans cette position, l'energie totale est nulle. Si on le releve ensuite a une hauteur Z\, on depense un certain travail exterieur puis, si on le lance avec une vitesse t>i, on depense un travail S". Le s\ steme etant ensuite abandonne a lui-meme sans qu'aucune force exterieure n'agisse, son energie
» Im'- mv\ a*, crn
o — (- mgz h mg Z\ =
reste constante. On [)eut utiliser cette energie pour produire un travail exterieur ©'-4-©", en ramenant le pendule dans sa position d'equilibre a\ ec une vitesse nulle.
3° Oscillation d'une lame elastique. — Soit une lame elastique dont
l'extremitr A est serree dans un etau fixe. Si aucune force exterieure n'agit sur le systeme, la lame occupe la position d'equilibre stable AB. Nous prendrons cette position pour la configuration speciale dans laquelle II est nul; en outre, la barre etant immobile dans cette position, l'energie actuelle est nulle egalement.
Prenons l'extremite B dans la main et ployons la barre pour l'amener dans la position AB', ou nous la maintiendrons immobile. 11 faut pour cela que la pression de la main produise un certain travail : l'energie potent telle, qui etait nulle, a pris, dans la position AB', une valeur Hi egale au travail depense. Si maintenant on abandonne la lame a elle-meme, elle se met en mouvement; a mesure qu'elle s'approche de la position d'equilibre VB son energie potentielle diminue, mais son energie cinetique augmente, de facon que l'energie totale reste constante et egale a Hi. Quand la lame repasse par la position AB, l'energie potentielle est nulle, mais l'energie cinetique est alors maximum et egale a Qt; la lame depassant la position
AB, l'energie potentielle augmente et l'energie cinetique diminue jusqu'a la position AB" symetrique de AB' ou l'energie cinetique redevient nulle, .... et ainsi de suite.
Une fois la lame amenee en AB' par Taction de la main, on pourrait evidemment lui faire produire un travail exterieur en la laissant revenir a sa position d'equilibre : par exemple, on pourrait l'employer a -oulever un ]wids.
i" llorloge. — Signalons encore les exemples simples suivants :
En remontant une horloge a poids, on accroit l'energie potentielle du s) steme forme par Thorloge et la Terre : en poussant ensuite le balancier, on accroit, au premier instant, l'energie cinetique qui etait nulle. L'energie totale ainsi communiquee s'use peu a peu : elle est employee a vaincre les resistances passives, et quand, le poids etant redescendu, l'horloge s'arrete, l'energie communiquee a ete entierement depensee.
De raeme, en remontant une horloge a ressort, on depense un certain travail qui accroit l'energie potentielle du systeme : cette energie est ensuite employee a vaincre les resistances passives.
Un systeme sur lequel agissent des forces interieures dependant seulement des positions des points est necessairement conservatif.
— ■ On peut demontrer cette proposition si Ton admet comme evident qu'il
est impossible de creer du travail sans aucune depense. En efl'et, soit un systeme sur le quel agissent des forces interieures fonctions de la seule position. Amenons-le d'une configuration (G0) a une configuration (G) par une suite de positions intermediates dont nous appellerons l'ensemble (P), en supposant que le systeme parte sans vitesse de (G0) et arrive sans vitesse en (G). D'apres le theoreme general des forces vives (33G), la variation de force vive etant nulle, la somme des travaux des forces tant interieures qu'exterieures est nulle :
en appelant le travail des forces interieures, %& celui des forces exterieures. Supposons, pour fixer les idees, %t negatif; alors %e est positif, c'esl-a-dire qu'il faut depenser un certain travail exterieur pour realiser le de'placement considere.
Amenons ensuite le systeme de la meme configuration (Go) a la meme (G), par une autre suite de positions intermediaires ( P ( 1 ) ) , le systeme partant et arrivant sans vitesse. Nous aurons encore, en appelant 'S-1' et %{P les travaux des forces interieures et exterieures :
Si le systeme revenaii de (C) en (Co) par la suite des positions ( P^) ), le travail des forces interieures seraient — S}11, car, les positions du systeme etant les memes, les forces interieures seraient les memes, mais les deplaoements seraient egaux et de sens contraires aux precedents. Done on aurait aussi — c&^) pour le travail des forces exterieures quand le systeme revient de (G) a (Co) par la suite des positions (Pi1').
II est absurde de supposer %^ different de %i. En effet, supposons par exemple <i%i\ alors c&'\})~>%e. Done, en amenant d'abord le systeme de (C0) a (C) par la suite des positions (P), on aurait a depenser un travail €5,,, puis, en le laissant revenir de (C) a (Co) par la suite des positions (PC ), les forces exterieures accompliraient un travail — e'est-a-dire <jue le systeme serait capable de produire a l'exterieur, sur des corps solides au contact, un travail ] superieur a celui *Se qui a ete depense. On aurait done ramene le systeme dans son etat initial et Ton aurait cree du travail. En recommencant la meme operation, on arriverait a creer une quantite* indefinie de travail : ce qui doit etre regarde comme impossible. I)onc Cj1 ] = Si, quelle que soit la suite des positions par lesquelles on passe d une configuration a Tautre, et le systeme est conservatif. Son energie 1 oi ale ne pent etre modifiee que par des actions exterieures. On admet, en Physique mathe'ntatique, que les actions inutuelles des molecules ne dependent que de leurs positions et meme que de leurs distances : tous les systemes de la nature doivent done etre conservatif s.
Des frottements et des resistances. — A premiere vue il semble, au 1 ontraire, que les sNstrmes mateiiels ne sont pas conservalifs. Par exemple,
il semble que, pour la plupart des systemes, le travail exterieur necessaire pour faire passer le systeme, sans vitesse apparente initiale et finale, d'uiie configuration a une autre n'est pas le meme que le travail restitue par le systeme quand il repasse de la deuxicme a la premiere. Ainsi, si avec la main on comprime un ressort a boudin, et si la compression depasse une certaine limite, le ressort ne reviendra pas tout seul a sa position primitive; il ne restitue done qu'une fraction du travail exterieur depense ; meme pour le ramener a sa forme primitive, il faut ensuite exercer Hir lui une traction, e'est-a-dire depenser un nouveau travail.
Dans d'autres cas, un systeme en mouvemcnt, sur lequel n'agit aucune force exterieure, finit par s'arreter dans la position d'equilibre stable pour laquelle II est nulle, de sorte que son e'nergie totale devient nulle en apparence et ne parait pas rester constante. Tel -erait le ca- d'un |)endule oscillant dans le vide : il finit par s'arreter, quoique aucune force exterieure n'agisse sur le systeme forme par la Terre et le pendule.
D'apres cela, il y a done une perte apparente d'energic; cette perte apparente est due, suivant les machines, aux frottements, a la viscosite des liquides, a relasticite imparfaite des solides, aux resistances provenant de l'induction electrique et de l'aimentation. IVIais cette perte d'energie est purement apparente, car, a cote des mouvements visible? dont s'occupe la Mecanique rationnelle, il existe des vibrations invisibles des molecules dont l'etude est faite cn Physique mathematique, et qui constituent la chaleur, la lumiere, l'electricite, etc.
Par exemple, tout frottement engendre de la chaleur, et I'experience de Joule a montre que le rapport de l'energie disparue a la quantite de chaleur produite est une constante. Cette constante se nomme X equivalent mecanique de la chaleur; elle est d'environ \:>. \^m, e'est-a-dire qu'une calorie peut produire un travail de 42ikgm.
Dans certains cas, les resistances, le manque d'elasticite, etc., donnent naissance a de l'electricite, de la lumiere, etc. II faut alors concevoir le principe de la conservation de l'energie de la facon suivante :
Dans un systeme isole sur lequel rCagit aucune action exterieure ni mecanique, ni calorijique, etc., Venergic totale est invariable , a condition de comprendre dans Verier gie cine'tique, non seulement celle due aux vitesses visibles des points du systeme, mais aussi celle qui provient des mouvements invisibles on stationnai res pouvant etre dus a la chaleur, aux courants electriques, peut-etre meme all magnetisme ou a V elect ricite statique; a condition aussi de comprendre dans Verier gie potentielle non seulement Venergie provenant des actions mecaniques sensibles que Von considere ordmairement en Mecanique, mais aussi celle qui peut etre due aux tensions electriques, aux ajffinites chimiques, etc.
En general, il existe une certaine incertitude pour qualifier les energies autres que celles d'origine mecanique et memo pour certaines de celles-ci.
Ainsi, selon la theorie cinetique ties gaz, les molecules d'un gaz, meme en repos apparent, sont douees de mouvenaents stationnaires tres rapides, d'ou resultent des chocs repetes des molecules entre elles et sur les parois. Ce qui nous apparait comme une pression statique serait le resultat de ces chocs. D'apres cela, l'energie due a la pression d'un gaz ne serait pas, dans son essence premiere, potentielle, mais cinetique. De meme pour l'energie d'un aimant, on doit, si Ton admet la theorie d'Ampere, la regarder comme cinetique, et, si Ton admet la theorie de Maxwell, la regarder comme potentielle.
Gette incertitude ou Ton est relativement a la qualite de certaines energies n'a aucun inconvenient pratique, car, qu'une energie soit potentielle ou cinetique, elle est toujours exprimee par un certain nombre de kilogrammetres, et nous avons vu que ces deux especes d'energies peuvent se. transformer 1'une dans I'autre sans aucun gain ni perte. ( Voyez Maurice Levy, Sur le principe de V energie, Gauthier-Villars, 1888.)
Nous n'insisterons pas davantage sur ces considerations qui servent, en particulier, de fondement a la Theorie mecanique de la chaleur. Nous renverrons, pour plus de details, au Memoire de M. Maurice Levy, au Memoire de M. Helmohltz : Ueber die Erhaltung der Kraft (1847), reimprime a Leipzig en 1889, a l'Ouvrage de MM. Tait et Thomson, aux Lecons synthetiques de Mecanique generate de M. Boussinesq, et a l'Ouvrage de M. Hirn, intitule La Cinetique moderne et le dynamisme de ravejiir, publie par l'Acaderriie royale de Belgique. On pourra consuiter aussi une suite d'articles de M. Duhem, parus dans la Revue des Sciences pures et appliquees, en igo3, et le premier Volume du Traite de Chimie physique de M. Perrin (Gauthier-Villars, 1903).
EXERCICES
I. Generalisation du theoreme de Koeniq et du theoreme des forces vives par rapport d des axes de directions fixes menes par le centre de gravite. — Soient Ox, Oy, Oz trois axes rectangulaires fixes auxquels on rapporte un systeme materiel quelconque ; O'x', O'y', O' z' trois axes qui restent paralleles aux precedents, mais dont l'origine O' est animee d'un mouvement indeterminc.
I. Pour que l'equation des forces vives s'applique au mouvement relatif par rapport aux axes mobiles, il faut que les projections, sur la direction de l'acceleration du point O', de la vitesse de 0' et de la vitesse absolue du centre de gravite soient egales.
II. La condition pour que la force vive du systeme soit egale a la force vive de toute la masse concentree a l'origine mobile, augmentee de la force vive due au mouvement relatif par rapport aux axes mobiles, est que la vitesse de cette origine soit egale a la projection, sur sa direction, de la vitesse absolue du centre de gravite (Bonnet, Meinoires de VAcademie de Montpellier, section des Sciences, t. I, p. i^).
Corollaire relatif au COS OU le systeme est un corps solide. — Si, a un
instant quelconque du rnouvernent d'un solide, on decrit un cylindre circulate droit dont la generatrice est parallele a l'axe instantane de rotation et de glissement et dont la section droite a pour diamctre la perpendiculaire abaissee du centre de gravite sur cet axe, lout point A pris sur cette surface cylindriquc jouit de la propriete enoncee dans le theoreme de Kcenig : la force vive du solide a I'instant considere est la somme de la force vive qu'aurait la masse totale concentree en A et de la force vive du corps dans son rnouvernent autour de A. II n'y a pas d'autre point du solide jouissant de cette propriete (Cauchy, Anciens Exercices, p. io4, 1827; Bonnet, loc. cit.; Gilbert, Comptes rendus, t. Cf, p. io54 et 1 r40)-
2. Lorsqu'un systeme materiel quelconque, deformable ou non, se deplace, la somme des produits obtenus en multipliant la masse de cliaque point par le carre de son deplacement est egale au produit de la masse totale du systeme par le carre de la projection du deplacement du centre de gravite sur une direction arbitraire AB, augmente de la somme des produits obtenus en multipliant la masse de cliaque point par re carre du deplacement qu'il faut lui imprimer pour I'amener dans sa position finale apres lui avoir fait subir, dans la direction AB, une translation egale a la projection du deplacement du centre de gravite sur cette direction (Fouret, Bulletin de la Societe mat hematique, t. XIV, p. 1
3» Quels sont les points A d'un solide S en rnouvernent qui partagent avec le centre de gravite la propriete suivante : Le moment de la quantite de rnouvernent du corps S par rapport a une droite fixe Oz, a un instant donne, est egal au moment de la quantite de rnouvernent de la masse totale supposee concentree en A, augmente du moment de la quantite de rnouvernent du solide par rapport a une droite Az' parallele & Oz, quand on considere le rnouvernent relatif par rapport a des axes de directions fixes qui se coupent en A ? (Le lieu des points A est un byperboloide) ( De Saint-Germain, Comptes rendus, t. CVII.)
4. On considere le systeme forme par un corps solide anime d'un rnouvernent de translation l^ectiligne et uniform e de vitesse v et par un point materiel de masse m d'abord immobile. On suppose que ce corps heurte le point in et Tentraine avec lui sans changer de vitesse, ce qu'on peut realiser en faisant agir des forces exterieures; demontrer que l'energie totale du systeme augmente de mv-. ' (Marcel Deprez.)
7>. Soit un systeme de deux points materiels libres s'attirant suivant une loi quelconque. Le theoreme des aires s'applique a la projection du rnouvernent sur les trois plans coordonnes. Si, par le centre de gravite du systeme et la tangente a la trajectoire de chacun des points, on fait passer un plan, les deux plans ainsi obtenus se coupent suivant une droite situee dans le plan invariable (e'est a-dire perpendiculaire a G a', n° 350) (Poinsot). Jacobi a fait de cette propriete une application au probleme des trois corps (Journal de Crelle, t. 26, p. ri5).
6. Un disque circulaire homogene pouvant glisser sans frottement sur un plan horizontal fixe est mobile autour de son centre O; sur la circonfcrence de ce disque sont places deux insectes de meme masse en deux points A et B dianietralernent opposes. Les insectes etant immobiles, le disque est lance autour de O avec une vitesse angulaire initiale o>0. Cette vitesse angulaire se conserve d'ellememe tant que les insectes restent immobiles sur le disque. On demande comment varie la vitesse angulaire'du disque quand les deux insectes, restant diame-
tralement opposes, se mettent a paivourir la circonference a I'instant / = o avec une vitesse relative v variant proportionnellement au temps V t± •;/.
7. Mouvcment d'une chaine pesante non homogcne glissant sans frottement sur une courbe lixe. On operera comme dans le texte (n° 344) en supposant la densite o = /(a), a designant la distance curviligne d'un point de la chaine au milieu. Calculer la tension.
(Ell appelant M la Ola&de totale, on trouve Tequation
oil z = 9(a) est la relation entre le z et Tare s d'un point de la courbe. Si la courbe est une cyclo'ide, le mouvement est tautochrone. )
S. Mouvement de deux points libres qui s'attirent proportionncllement a leurs distances.
'J. I n point materiel est assujetti a glisser sans frottement sur un axe Ooo; un second point materiel est entierement libre. Trouver le mouvement du systeme en supposant que les deux points s'attirent proportionnellement a la distance, et calculer la reaction dc l'axe Ox. (II suffit d'ecrire les equations du mouvement Mrs deux points; on est rameue a des integrations faciles.)
10. Deux points materiels M et M' de meme masse m mobiles dans un plan horizontal sont relies l'un a l'autre par un fil inextensible et sans masse de longueur >l. Le point M est attire par un point fixe A et le point M' par un point fixe A' proportionncllement a la distance. Trouver le mouvement de ce systeme. I in prendra pour axe des x la droite A' A et pour origine le milieu de A' A. ; on designers par -ia la distance A' A, par Sj, r\ les coordonnees du milieu G de la droite MM', par 6 Tangle que fait la droite GM avec Oa?,enfin par \im AM, \x?n A'M' les \aleurs absolues des attractions issues de A et A'. (Licence, Paris.)
I I. Deux points materiels M et Ml de masses m et mx relies par un fil inextensible et sans masse de longueur I sont assujettis a glisser sans frottement sur un plan horizontal XOY. Ces points sont sollicites par des forces F et F, dirigees vers OY perpendiculairement a cette axe, proportionnelles aux masses des points et a leurs distances a cet axe. Trouver le mouvement du systeme.
En designant par x et xY les abscisses des deux points, on appellera — k2mx el — k*mla;i les projections des forces F et Ft sur l'axe OX. On designera par \ ' t i, les coordonnees du centre de gravite G du systeme et par 6 Tangle de MtM aver OX. (Licence, Paris.)
12. Deux points materiels de meme masse glissent sans frottement Tun sur l'axe Ox, Tautre sur Taxe perpendiculaire Oy. Ces points s'attirent en raison inverse du carre de leur distance. Trouver leur mouvement; trouver en particulier la courbe decrite par le centre de gravite des deux points. (Conique de foyer <) decrite suivant la loi des aires.) (Licence, Paris.)
13. Deux points dc meme masse relies par un fil inextensible et sans masse glissent sans frottement Tun sur un axe horizontal Ox, Tautre sur un axe vertical Oy. Mouvement du systeme. (Dorna, Memoires de /'Acacfemie de Turin, t. XXXI.)
14. Mouvement de trois points assujettis a decrire unc meme droite fixe et a s'attirer proportionnellerncnt aux masses et en raison inverse du cube des distances. (Jacobi, Gesammelte Werke, t. IV, p. 533-53;).;
15. Mernc problcme quand on suppose en outre chaque point attire par un centre fixe proportionnellement a la distance.
(M. Mestschersky a montre que ce.problcme se ramene au precedent par un changement de variables effectue sur le temps et les coordonnees. Voyez Bulletin
des Sciences mathernaliques, 180/1, Melanges.)
CHAPTTRE XIX.
