CHAPITRE XXVI. — CHOCS ET PERCUSSIONS
infinimenl courl It — 10. Les vitesses des diflerents point du corps subissent des variations brusques, qu'il s'agit de calculer.
On sait que la distribution des vitesses dans un corps solide depend seulement de la vitesse du centre de gravite et de la rota-
tion instantanee w autour d'un axe passant par ce point. Appelons y)', les coinposantes de la vitesse du centre de gravite suivant trois axes fixes 0?y)£, et p, q, r les composantes de la rotation instantanee suivant les trois axes principaux d'inertie du corps Oxyz, relatifs au centre de gravite; affectons, comme plus haut. des indices o et i les valeurs de ces six quantites aux instants t0 et f4.
Soient av, 6V, cv les projections d'une des percussions Pv sur les axes fixes 0£tq£; le theoreme des quantites de mouvcment projetees donne d'abord
(I) M(?'1-ro)=,S«v) MC^-Tj'o^Sfcv, M(^-C'o)=Scv, ou M designe la masse totale. 'Soient ensuite i?Vj Jit,, 0XV les rao-
ments de la percussion Pv par rapport auv axes principaux Gxyz, le theoreme des moments des quantites de mouvement (n° 514), applique successivement a ces axes, donne
0) 4(jpl-jp0)^Si?V) B(qy-q0)= SJTlv, C( rx - r0 ) = S
Ces six equations (i) et (2) d^terminent %1} r\\, g^, r4.
On pourrait les obtenir immediatement en partant des equations du mouvement d'un solide libre multipliees par dt et integrant ces equations de tQ et ti.
Remarque. — On voit que les problemes de percussions conduisent a la resolution d'equalions algebriques et non a des integrations comme les problemes de Dynamique.
iv. - Equations gen£rale de la thEorie
DES PERCUSSIONS. THflORflME DE CARNOT.
,v)16. Equation generale. — On peut, dans la theorie des percussions, introduire un principe qui est analogue au principe de d'AIembert, dout il est d'ailleurs une consequence immediate.
Soil un point materiel de masse m et de coordonnees z, z; designons par x\ y, z' les deriv^cs de x, r, z par rapport au temps, c'est-a-dire les projections de la vitesse du point. La per-
cussion dure un temps infiniment court t\ — -t0. Soient v() et pt les
vitesses du point aux instants t{) et t±, et w la difference geom£-
trique des vecteurs t>0 et p1?
Ge vecteur s'appelle la vitesse perdue par le point. En appe-
lant x\, yoi z'0 et ar'j, y\, z\ les projections de vQ et rl; celles de w sont
Le vecteur raw est la quantite de mouvement perdue : ses projections sont
m ( x\ — x\ ), m ( Jo — ), m.( z o — z\ ),
ou encore
— \(/nx'), — A(mj'), — A(ms'), en dcsignant, comme plus haul, par k(mx') la variation m(x\ — x'0).
Ce vecteur mw va jouer ici le meme role que la force d'inertie dans le principe de d'Alembert.
En cffet, les equations qui expriment, pour un point, le theoreme des quantites de mouvement projetees peuvent s'ecrire
( -A(m^') + Sfl = o, (i) -AO/) -+-26 = o,
On les interprete en disant qu'tVy a equilibre entre la quantite de mouvement perdue et les percussions appliquees au point. Si done Ton imprime au point un deplacement virtuel quelconque &r, dy, dz, la somme des travaux de la quantite de mouvement perdue et des percussions est nulle :
— \(mx' ) ox — A ( my' ) oy — ^{mz')hz ^(aox -\- b oy -\- coz) = o. Imaginons maintenant un sjsteme a liaison sans frottement el
