CHAPITRE XXVI. — CHOCS ET PERCUSSIONS

et l'equation (3) donne

! A ( m x' ) x\ + A ( m/ )y\ -+- A( mz')z\ ] = o

ou, en remplacant A('maJ), . . . par leurs valeurs m(x\ — x'0), . .

Or on a, pour les vitesses avant et apres les percussions et pour la vitesse perdue w, les ^galites

w2 = (^o — ^'i )2+ (ro — y\T- + O'o — *i )2-

On verifie immediatement que, dans liquation (4), le coefficient de m est - (v\ — vl-\-w-). Getle Equation donne done

V m .(,.2 vl -+- w2) = 6, ^ g — V mp f = ^ fa

Le theoreme est ainsi demontre.

La force vive^^^2 s'appelle la force vive due aux vitesses perdues.

Applications du theoreme de Carnot. — Le theoreme de Carnot joue, dans la th^orie des percussions, un role analogue a celui que joue le theoreme des forces vives en Dynamique. II determine entierement l'^tat des vitesses apres les percussions, toutes les fois que les liaisons anterieures et les liaisons introduites brusquement persistent apres les percussions et sont en nombre tel que le systeme devienne un systeme a liaisons completes.

En vue de preparer ces applications, nous ferons quelques remarques sur revaluation de la force vive due aux vitesses perdues pour un corps solide mobile autour d'un axe fixe ou d'un point fixe.

Corps solide mobile autour (Tun axe fixe. — Appelons MA:2 le moment d'inertie du corps par rapport a I'axe fixe pris pour axe Oz7 co0

et u)j les vitesses angul aires de rolalion du corps aux instants t() et t\ on comrnencent et finissent les percussions. Un point m du corps avait a l'instant tQ une vitesse perpendiculaire au plan rnOz et egale a rco0, r designant la distance du point m a 1'axe de rotation Oz; a Pinstant ft, sa vitesse est devenue rwi et a conserve la meme direction. La difference ■> > >

geotnetrique w = p0 — P| ou vitesse perdue a pour module la valeur absolue de r((O0 — Wi). La force vive due a cette vitesse perdue est, pour le point m, mr-(oi0 — o^)2 et, pour le corps entier,

mr- ( co0 — o) i )2 = M k- ( w0 — co i ) - .

Corps solide mobile autour d^un point fixe. — Soient 0 le point fixe, 0 xyz les axes principaux d'inertie relatifs a ce point, et A. P>, C les moments d'inertie correspondants. Avant les percussions, le corps est anime d'une rotation instantanee de composantes p0, q0, r0 suivant les axes Oxyz, et, apres les percussions, il est anime d'une rotation de compo-

santes pl: qi, r±. Les projections de la vitesse v0 (Pun point ?n(x, i . z) sont q()z — r0y, r0 x — PoZ, p0y — q^x et la force vive avant les percussions est (n° 383)

( 5 ) ^ in [q0z — r()y )2 -+- ( r0 — p0 z )2 -h (p0y — q0 x )* ]

On a de meme les projections de la vitesse V\ du point m et la force vive finale A/>| -hB^f-f- Crf. La vitesse perdue w a pour projections les differences des projections de p0 et r,,

(#o — y i )z — (r0 — ri)jK, (r0— r, ) x — (po — p^z, (p& —Pi)y — (qo—:qi)x,

et la force vive due a ces vitesses perdues a une expression qui se deduit de (5) par le changement de p0, qo, r0 en p0— /?,, q0—qu r0 — r4 ; elle est done

y»2= A (po—pi)'2 -+- B (?0 — ?i)2-+- C (/'o— rt )".

Premier exemple. Pendule balistique. — Dans le pendule balistique, les percussions proviennent d'une liaison brusquement introduite, persistant apres les percussions. Le theoreme de Carnot s'applique. Employons les memes notations qu'au n° 513.

Avant le choc, le pendule est immobile; la force vive totale du systeme se reduit done a celle du boulet mv2.

Apres le choc, la grandeur de la vitesse du boulet est atol5 la vitesse