CHAPITRE XXVI. — CHOCS ET PERCUSSIONS
angulaire du pen d ill e etant itfj ; la force vive du systeme est done //? a- to \ -+- M k2 to 2 .
Evaluons enfin la force vive due aux vitesses perdues. La grandeur de la vitesse perdue par le boulet est v — au)t, car les vitesses du boulet, ^avant et immediatement apres le choc, ont les memes directions; la force vive due a la vitesse perdue par le boulet est done m {y — ato,)2. La force vive due aux vitesses perdues par les points du pendule est Mk-(o)Q — wj)2, d'apres la remarque generale precedente; mais actuellement, to0 etant nul, cetle expression se re'duit a MA2wf. Ecrivant que la force vive perdue est egale a la force vive due aux vitesses perdues, on a
m p? — /// a- to f — M k- to] = m ( v — a to i )- -+- M k~ oj f
Gette equation, apres reduction, donne pour la valeur trouvee dans le n« 513.
Deuxieme exemple. — Soient deux poulies de rayons R et R' tournant autour d'axes paralleles 0 et O' avec des vitesses angulaires dont les valeurs algebriques eslimees dans un meme sens de rotation sont to0 et w0s.
Un fd non tendu s'enroule sur les deux poulies. II arrive un moment ou
le fil se tend; des percussions se produisent. On demande de trouver les vitesses angulaires nouvelles u>i et to7! que prennent les poulies, en admettant que le fil reste tendu apres le choc.
Si nous designons par \±, \x les moments d'inertie des poulies par rapport a leurs axes, la force vive perdue par le systeme est
ato 5 -+- \x to'02 — uoj \ — a' oj'i2 .
Celle qui serait due aux vitesses perdues est
a ( oj0 — o) i )- -+- \x ( to'0 — to', )- ;
le theoreme de Carnot nous donnera done
UU>5 -f- \X to'02 IJUO J \X tO f = [Jl( O)0 — oj i )'2 -h u' ( io'0 U)| )2
ou, en simplifiant,
;i.to0 o) i -+- a' o)'0 oi\ = u.to2 -f- \x' tOj2 .
Mais, le fil restant tendu, les vitesses angulaires finales satisfont a la relation
R toj = R'o)', .
De ces deux equations nous tirerons les vitesses angulaires cherchees :
R' ( n R' oj0 -f- H-' R o)'0 )
lxR' l-h ;j.'R2 R (;i.R'o)0-f- fj/Rw'o ) uKV \x K2
Troisicme exemple. — Imaginons un corps solide en mouvement autour d'un point fixe 0, et supposons que, subitement, on fixe un deuxieme point 0' du corps, de sorte que le corps ne puisse plus que tourner autour de 00'. Cherclions la vitesse de rotation finale o)l autour de 00'.
Le theoreme de Carnot s'applique, car on introduit une liaison persistante. Prenons ponr axes 0 xyz les axes principaux d'incrtie rclatif- au point 0. Appelons A, B, G les moments principaux d'inertie et p0, q0, /'o les composantes de la rotation instantane'e avant le choc, quantites connues.
Appelons, d'autre part, a, j3, y les cosinus directeurs de 00' par rapport aux axes Oxyz; ces quantites sont connues puisque le point 0', qui est fixe brusquement, est un point determine du corps. La rotation finale oji, autour de 00', a pour composantes suivant les axes
/>] = 3cwi, q\ = (itoj, /'i = yoJi.
Ecrivant que la force vive perdue egale la force vive due au? vitesses perdues, on a
Apl-h Bql+ Crl — (Aa2 + B [i- -h Gy2)o>| = A(/30— aoj[)2-(- B(q()— poo,)2-f- C(r0— ywi)2;
d'ou Ton tire
AjP(|g+Byop + Cr0 v Wl ~ A«-+B [j2 -4- Gy2
On voit que si Ton avait
Ajo9a + B^0[j + C r0 y = o,
c'est-a-dire si p0, q0, /0 et a, (3, y etaient deux directions conjuguees par rapport a l'ellipsoi'de d'inertie, on aurait 0^ = 0; le corps resterait immobile apres le choc.
320. Extension du theoreme de Carnot au cas ou certaines percussions sont donnees. — Supposons qu'en meme temps qu'on introduit des
liaisons persistantes, on fasse agir des percussions donnees Pi, P* , • • ., P«
